Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59098 / 82585
↖ ↑ ↗
← S 42.344335°
W 17.682495°		 ← 225.74 m → S 42.344335°
W 17.679748°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.346365°
W 17.682495°		 ← 225.74 m →
50 955 m²		 S 42.346365°
W 17.679748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450885772705078 y=0.630077362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450885772705078 × 217)
    floor (0.450885772705078 × 131072)
    floor (59098.5)     		tx = 59098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630077362060547 × 217)
    floor (0.630077362060547 × 131072)
    floor (82585.5)     		ty = 82585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59098 / 82585 ti = "17/59098/82585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59098/82585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59098 ÷ 217
    59098 ÷ 131072     		x = 0.450881958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82585 ÷ 217
    82585 ÷ 131072     		y = 0.630073547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450881958007812 × 2 - 1) × π
    -0.098236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30861776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630073547363281 × 2 - 1) × π
    -0.260147094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.817276201622337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30861776} λ = -0.30861776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817276201622337))-π/2
    2×atan(0.441632936814715)-π/2
    2×0.415874127798945-π/2
    0.83174825559789-1.57079632675     		φ = -0.73904807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30861776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.682495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73904807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.344335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59098 KachelY 82585 -0.30861776 -0.73904807 -17.682495 -42.344335
    Oben rechts KachelX + 1 59099 KachelY 82585 -0.30856982 -0.73904807 -17.679748 -42.344335
    Unten links KachelX 59098 KachelY + 1 82586 -0.30861776 -0.73908350 -17.682495 -42.346365
    Unten rechts KachelX + 1 59099 KachelY + 1 82586 -0.30856982 -0.73908350 -17.679748 -42.346365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73904807--0.73908350) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73904807--0.73908350) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30861776--0.30856982) × cos(-0.73904807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739110098935093 × 6371000     		do = 225.743248908838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30861776--0.30856982) × cos(-0.73908350) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739086233367553 × 6371000     		du = 225.735959750211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73904807)-sin(-0.73908350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739110098935093-0.739086233367553)×R²
    abs(-0.30856982--0.30861776)×2.38655675399713e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38655675399713e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38655675399713e-05×40589641000000     		ar = 50954.9660950843m²