Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59097 / 81847
↖ ↑ ↗
← S 40.828359°
W 17.685242°		 ← 231.11 m → S 40.828359°
W 17.682495°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 40.830437°
W 17.685242°		 ← 231.10 m →
53 402 m²		 S 40.830437°
W 17.682495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450878143310547 y=0.624446868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450878143310547 × 217)
    floor (0.450878143310547 × 131072)
    floor (59097.5)     		tx = 59097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624446868896484 × 217)
    floor (0.624446868896484 × 131072)
    floor (81847.5)     		ty = 81847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59097 / 81847 ti = "17/59097/81847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59097/81847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59097 ÷ 217
    59097 ÷ 131072     		x = 0.450874328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81847 ÷ 217
    81847 ÷ 131072     		y = 0.624443054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450874328613281 × 2 - 1) × π
    -0.0982513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30866570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624443054199219 × 2 - 1) × π
    -0.248886108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.781898769702736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30866570} λ = -0.30866570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781898769702736))-π/2
    2×atan(0.45753642968828)-π/2
    2×0.429103520094452-π/2
    0.858207040188904-1.57079632675     		φ = -0.71258929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30866570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.685242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71258929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.828359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59097 KachelY 81847 -0.30866570 -0.71258929 -17.685242 -40.828359
    Oben rechts KachelX + 1 59098 KachelY 81847 -0.30861776 -0.71258929 -17.682495 -40.828359
    Unten links KachelX 59097 KachelY + 1 81848 -0.30866570 -0.71262556 -17.685242 -40.830437
    Unten rechts KachelX + 1 59098 KachelY + 1 81848 -0.30861776 -0.71262556 -17.682495 -40.830437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71258929--0.71262556) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dl = 231.076169999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71258929--0.71262556) × R
    3.62699999999494e-05 × 6371000     		dr = 231.076169999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30866570--0.30861776) × cos(-0.71258929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756671549023609 × 6371000     		do = 231.106967797331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30866570--0.30861776) × cos(-0.71262556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756647835373912 × 6371000     		du = 231.099725038324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71258929)-sin(-0.71262556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756671549023609-0.756647835373912)×R²
    abs(-0.30861776--0.30866570)×2.37136496974433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37136496974433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37136496974433e-05×40589641000000     		ar = 53402.4761702093m²