Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59096 / 82584
↖ ↑ ↗
← S 42.342305°
W 17.687988°		 ← 225.70 m → S 42.342305°
W 17.685242°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.344335°
W 17.687988°		 ← 225.70 m →
50 946 m²		 S 42.344335°
W 17.685242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450870513916016 y=0.630069732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450870513916016 × 217)
    floor (0.450870513916016 × 131072)
    floor (59096.5)     		tx = 59096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630069732666016 × 217)
    floor (0.630069732666016 × 131072)
    floor (82584.5)     		ty = 82584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59096 / 82584 ti = "17/59096/82584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59096/82584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59096 ÷ 217
    59096 ÷ 131072     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82584 ÷ 217
    82584 ÷ 131072     		y = 0.63006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.2601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.817228264722717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817228264722717))-π/2
    2×atan(0.441654107835909)-π/2
    2×0.415891843408245-π/2
    0.831783686816491-1.57079632675     		φ = -0.73901264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73901264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.342305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59096 KachelY 82584 -0.30871363 -0.73901264 -17.687988 -42.342305
    Oben rechts KachelX + 1 59097 KachelY 82584 -0.30866570 -0.73901264 -17.685242 -42.342305
    Unten links KachelX 59096 KachelY + 1 82585 -0.30871363 -0.73904807 -17.687988 -42.344335
    Unten rechts KachelX + 1 59097 KachelY + 1 82585 -0.30866570 -0.73904807 -17.685242 -42.344335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73901264--0.73904807) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73901264--0.73904807) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30866570) × cos(-0.73901264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.73913396357484 × 6371000     		do = 225.703447559297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30866570) × cos(-0.73904807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739110098935093 × 6371000     		du = 225.696160204459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73901264)-sin(-0.73904807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73913396357484-0.739110098935093)×R²
    abs(-0.30866570--0.30871363)×2.38646397462405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38646397462405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38646397462405e-05×40589641000000     		ar = 50945.9821575585m²