Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59096 / 45000
↖ ↑ ↗
← N 49.023461°
W 17.687988°		 ← 200.24 m → N 49.023461°
W 17.685242°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 49.021660°
W 17.687988°		 ← 200.25 m →
40 097 m²		 N 49.021660°
W 17.685242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450870513916016 y=0.343326568603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450870513916016 × 217)
    floor (0.450870513916016 × 131072)
    floor (59096.5)     		tx = 59096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343326568603516 × 217)
    floor (0.343326568603516 × 131072)
    floor (45000.5)     		ty = 45000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59096 / 45000 ti = "17/59096/45000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59096/45000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59096 ÷ 217
    59096 ÷ 131072     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45000 ÷ 217
    45000 ÷ 131072     		y = 0.34332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984432170597473))-π/2
    2×atan(2.67629177572069)-π/2
    2×1.21320857001704-π/2
    2.42641714003409-1.57079632675     		φ = 0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59096 KachelY 45000 -0.30871363 0.85562081 -17.687988 49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 59097 KachelY 45000 -0.30866570 0.85562081 -17.685242 49.023461
    Unten links KachelX 59096 KachelY + 1 45001 -0.30871363 0.85558938 -17.687988 49.021660
    Unten rechts KachelX + 1 59097 KachelY + 1 45001 -0.30866570 0.85558938 -17.685242 49.021660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85562081-0.85558938) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dl = 200.240530000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85562081-0.85558938) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dr = 200.240530000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30866570) × cos(0.85562081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 200.241132283991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30866570) × cos(0.85558938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655773666783086 × 6371000     		du = 200.248378109549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85562081)-sin(0.85558938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655773666783086)×R²
    abs(-0.30866570--0.30871363)×2.37286396034264e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37286396034264e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37286396034264e-05×40589641000000     		ar = 40097.115913689m²