Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59094 / 35267
↖ ↑ ↗
← N 63.623084°
W 17.693482°		 ← 135.69 m → N 63.623084°
W 17.690735°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
N 63.621864°
W 17.693482°		 ← 135.70 m →
18 414 m²		 N 63.621864°
W 17.690735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450855255126953 y=0.269069671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450855255126953 × 217)
    floor (0.450855255126953 × 131072)
    floor (59094.5)     		tx = 59094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269069671630859 × 217)
    floor (0.269069671630859 × 131072)
    floor (35267.5)     		ty = 35267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59094 / 35267 ti = "17/59094/35267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59094/35267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59094 ÷ 217
    59094 ÷ 131072     		x = 0.450851440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35267 ÷ 217
    35267 ÷ 131072     		y = 0.269065856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450851440429688 × 2 - 1) × π
    -0.098297119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30880951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269065856933594 × 2 - 1) × π
    0.461868286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.45100201459948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30880951} λ = -0.30880951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45100201459948))-π/2
    2×atan(4.26738835902165)-π/2
    2×1.3406143129381-π/2
    2.68122862587619-1.57079632675     		φ = 1.11043230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30880951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.693482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11043230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.623084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59094 KachelY 35267 -0.30880951 1.11043230 -17.693482 63.623084
    Oben rechts KachelX + 1 59095 KachelY 35267 -0.30876157 1.11043230 -17.690735 63.623084
    Unten links KachelX 59094 KachelY + 1 35268 -0.30880951 1.11041100 -17.693482 63.621864
    Unten rechts KachelX + 1 59095 KachelY + 1 35268 -0.30876157 1.11041100 -17.690735 63.621864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11043230-1.11041100) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11043230-1.11041100) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30880951--0.30876157) × cos(1.11043230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444274264662045 × 6371000     		do = 135.692796047429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30880951--0.30876157) × cos(1.11041100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444293347035923 × 6371000     		du = 135.698624295592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11043230)-sin(1.11041100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444274264662045-0.444293347035923)×R²
    abs(-0.30876157--0.30880951)×1.90823738780987e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90823738780987e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90823738780987e-05×40589641000000     		ar = 18414.2199710238m²