Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5909 / 6992
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
W 50.163574°		 ← 2 205.52 m → N 25.482951°
W 50.141602°		 →
↑
2 205.70 m
↓
↑
2 205.70 m
↓
N 25.463115°
W 50.163574°		 ← 2 205.89 m →
4 865 131 m²		 N 25.463115°
W 50.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360687255859375 y=0.426788330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360687255859375 × 214)
    floor (0.360687255859375 × 16384)
    floor (5909.5)     		tx = 5909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426788330078125 × 214)
    floor (0.426788330078125 × 16384)
    floor (6992.5)     		ty = 6992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5909 / 6992 ti = "14/5909/6992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5909/6992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5909 ÷ 214
    5909 ÷ 16384     		x = 0.36065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6992 ÷ 214
    6992 ÷ 16384     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.2786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87551953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87551953} λ = -0.87551953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87551953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5909 KachelY 6992 -0.87551953 0.44476140 -50.163574 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 5910 KachelY 6992 -0.87513604 0.44476140 -50.141602 25.482951
    Unten links KachelX 5909 KachelY + 1 6993 -0.87551953 0.44441519 -50.163574 25.463115
    Unten rechts KachelX + 1 5910 KachelY + 1 6993 -0.87513604 0.44441519 -50.141602 25.463115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.44441519) × R
    0.000346209999999958 × 6371000     		dl = 2205.70390999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.44441519) × R
    0.000346209999999958 × 6371000     		dr = 2205.70390999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87551953--0.87513604) × cos(0.44476140) × R
    0.000383490000000042 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 2205.52260040524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87551953--0.87513604) × cos(0.44441519) × R
    0.000383490000000042 × 0.902862247107108 × 6371000     		du = 2205.88639546496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.44441519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.902862247107108)×R²
    abs(-0.87513604--0.87551953)×0.000148900154504528×R²
    0.000383490000000042×0.000148900154504528×6371000²
    0.000383490000000042×0.000148900154504528×40589641000000     		ar = 4865131.08399426m²