Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59089 / 81549
↖ ↑ ↗
← S 40.206148°
W 17.707214°		 ← 233.26 m → S 40.206148°
W 17.704467°		 →
↑
233.24 m
↓
↑
233.24 m
↓
S 40.208245°
W 17.707214°		 ← 233.25 m →
54 406 m²		 S 40.208245°
W 17.704467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450817108154297 y=0.622173309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450817108154297 × 217)
    floor (0.450817108154297 × 131072)
    floor (59089.5)     		tx = 59089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622173309326172 × 217)
    floor (0.622173309326172 × 131072)
    floor (81549.5)     		ty = 81549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59089 / 81549 ti = "17/59089/81549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59089/81549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59089 ÷ 217
    59089 ÷ 131072     		x = 0.450813293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81549 ÷ 217
    81549 ÷ 131072     		y = 0.622169494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450813293457031 × 2 - 1) × π
    -0.0983734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30904919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622169494628906 × 2 - 1) × π
    -0.244338989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.767613573615959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30904919} λ = -0.30904919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767613573615959))-π/2
    2×atan(0.464119334399874)-π/2
    2×0.434533331497965-π/2
    0.86906666299593-1.57079632675     		φ = -0.70172966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30904919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.707214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70172966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.206148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59089 KachelY 81549 -0.30904919 -0.70172966 -17.707214 -40.206148
    Oben rechts KachelX + 1 59090 KachelY 81549 -0.30900125 -0.70172966 -17.704467 -40.206148
    Unten links KachelX 59089 KachelY + 1 81550 -0.30904919 -0.70176627 -17.707214 -40.208245
    Unten rechts KachelX + 1 59090 KachelY + 1 81550 -0.30900125 -0.70176627 -17.704467 -40.208245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70172966--0.70176627) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dl = 233.242309999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70172966--0.70176627) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dr = 233.242309999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30904919--0.30900125) × cos(-0.70172966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763726766177213 × 6371000     		do = 233.261812717329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30904919--0.30900125) × cos(-0.70176627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763703132459194 × 6371000     		du = 233.254594371514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70172966)-sin(-0.70176627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763726766177213-0.763703132459194)×R²
    abs(-0.30900125--0.30904919)×2.36337180182788e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36337180182788e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36337180182788e-05×40589641000000     		ar = 54405.6822270643m²