Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59089 / 46123
↖ ↑ ↗
← N 46.959636°
W 17.707214°		 ← 208.46 m → N 46.959636°
W 17.704467°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 46.957761°
W 17.707214°		 ← 208.46 m →
43 456 m²		 N 46.957761°
W 17.704467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450817108154297 y=0.351894378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450817108154297 × 217)
    floor (0.450817108154297 × 131072)
    floor (59089.5)     		tx = 59089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351894378662109 × 217)
    floor (0.351894378662109 × 131072)
    floor (46123.5)     		ty = 46123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59089 / 46123 ti = "17/59089/46123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59089/46123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59089 ÷ 217
    59089 ÷ 131072     		x = 0.450813293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46123 ÷ 217
    46123 ÷ 131072     		y = 0.351890563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450813293457031 × 2 - 1) × π
    -0.0983734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30904919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351890563964844 × 2 - 1) × π
    0.296218872070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.93059903232415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30904919} λ = -0.30904919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93059903232415))-π/2
    2×atan(2.53602788537321)-π/2
    2×1.19519829489629-π/2
    2.39039658979258-1.57079632675     		φ = 0.81960026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30904919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.707214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81960026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.959636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59089 KachelY 46123 -0.30904919 0.81960026 -17.707214 46.959636
    Oben rechts KachelX + 1 59090 KachelY 46123 -0.30900125 0.81960026 -17.704467 46.959636
    Unten links KachelX 59089 KachelY + 1 46124 -0.30904919 0.81956754 -17.707214 46.957761
    Unten rechts KachelX + 1 59090 KachelY + 1 46124 -0.30900125 0.81956754 -17.704467 46.957761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81960026-0.81956754) × R
    3.27199999999861e-05 × 6371000     		dl = 208.459119999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81960026-0.81956754) × R
    3.27199999999861e-05 × 6371000     		dr = 208.459119999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30904919--0.30900125) × cos(0.81960026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682513421007037 × 6371000     		do = 208.457166670869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30904919--0.30900125) × cos(0.81956754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682537334808214 × 6371000     		du = 208.46447056129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81960026)-sin(0.81956754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682513421007037-0.682537334808214)×R²
    abs(-0.30900125--0.30904919)×2.39138011769446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39138011769446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39138011769446e-05×40589641000000     		ar = 43455.5588069529m²