Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59088 / 82584
↖ ↑ ↗
← S 42.342305°
W 17.709961°		 ← 225.75 m → S 42.342305°
W 17.707214°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.344335°
W 17.709961°		 ← 225.74 m →
50 957 m²		 S 42.344335°
W 17.707214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450809478759766 y=0.630069732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450809478759766 × 217)
    floor (0.450809478759766 × 131072)
    floor (59088.5)     		tx = 59088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630069732666016 × 217)
    floor (0.630069732666016 × 131072)
    floor (82584.5)     		ty = 82584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59088 / 82584 ti = "17/59088/82584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59088/82584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59088 ÷ 217
    59088 ÷ 131072     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82584 ÷ 217
    82584 ÷ 131072     		y = 0.63006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.2601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.817228264722717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817228264722717))-π/2
    2×atan(0.441654107835909)-π/2
    2×0.415891843408245-π/2
    0.831783686816491-1.57079632675     		φ = -0.73901264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73901264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.342305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59088 KachelY 82584 -0.30909713 -0.73901264 -17.709961 -42.342305
    Oben rechts KachelX + 1 59089 KachelY 82584 -0.30904919 -0.73901264 -17.707214 -42.342305
    Unten links KachelX 59088 KachelY + 1 82585 -0.30909713 -0.73904807 -17.709961 -42.344335
    Unten rechts KachelX + 1 59089 KachelY + 1 82585 -0.30904919 -0.73904807 -17.707214 -42.344335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73901264--0.73904807) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73901264--0.73904807) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30904919) × cos(-0.73901264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.73913396357484 × 6371000     		do = 225.750537784092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30904919) × cos(-0.73904807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739110098935093 × 6371000     		du = 225.743248908838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73901264)-sin(-0.73904807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73913396357484-0.739110098935093)×R²
    abs(-0.30904919--0.30909713)×2.38646397462405e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38646397462405e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38646397462405e-05×40589641000000     		ar = 50956.6114048213m²