Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59088 / 82575
↖ ↑ ↗
← S 42.324032°
W 17.709961°		 ← 225.82 m → S 42.324032°
W 17.707214°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
S 42.326062°
W 17.709961°		 ← 225.81 m →
50 986 m²		 S 42.326062°
W 17.707214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450809478759766 y=0.630001068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450809478759766 × 217)
    floor (0.450809478759766 × 131072)
    floor (59088.5)     		tx = 59088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630001068115234 × 217)
    floor (0.630001068115234 × 131072)
    floor (82575.5)     		ty = 82575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59088 / 82575 ti = "17/59088/82575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59088/82575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59088 ÷ 217
    59088 ÷ 131072     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82575 ÷ 217
    82575 ÷ 131072     		y = 0.629997253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629997253417969 × 2 - 1) × π
    -0.259994506835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.816796832626137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816796832626137))-π/2
    2×atan(0.441844692702874)-π/2
    2×0.416051309632225-π/2
    0.832102619264451-1.57079632675     		φ = -0.73869371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73869371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.324032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59088 KachelY 82575 -0.30909713 -0.73869371 -17.709961 -42.324032
    Oben rechts KachelX + 1 59089 KachelY 82575 -0.30904919 -0.73869371 -17.707214 -42.324032
    Unten links KachelX 59088 KachelY + 1 82576 -0.30909713 -0.73872915 -17.709961 -42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 59089 KachelY + 1 82576 -0.30904919 -0.73872915 -17.707214 -42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73869371--0.73872915) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dl = 225.788239999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73869371--0.73872915) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dr = 225.788239999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30904919) × cos(-0.73869371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739348743976257 × 6371000     		do = 225.816137247132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30904919) × cos(-0.73872915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 225.808848866538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73869371)-sin(-0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739348743976257-0.739324880956086)×R²
    abs(-0.30904919--0.30909713)×2.3863020171766e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3863020171766e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3863020171766e-05×40589641000000     		ar = 50985.8053825809m²