Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59087 / 82574
↖ ↑ ↗
← S 42.322001°
W 17.712708°		 ← 225.82 m → S 42.322001°
W 17.709961°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.324032°
W 17.712708°		 ← 225.82 m →
51 002 m²		 S 42.324032°
W 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450801849365234 y=0.629993438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450801849365234 × 217)
    floor (0.450801849365234 × 131072)
    floor (59087.5)     		tx = 59087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629993438720703 × 217)
    floor (0.629993438720703 × 131072)
    floor (82574.5)     		ty = 82574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59087 / 82574 ti = "17/59087/82574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59087/82574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59087 ÷ 217
    59087 ÷ 131072     		x = 0.450798034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82574 ÷ 217
    82574 ÷ 131072     		y = 0.629989624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450798034667969 × 2 - 1) × π
    -0.0984039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30914507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629989624023438 × 2 - 1) × π
    -0.259979248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.816748895726517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30914507} λ = -0.30914507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816748895726517))-π/2
    2×atan(0.441865873875232)-π/2
    2×0.416069030961518-π/2
    0.832138061923036-1.57079632675     		φ = -0.73865826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30914507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.712708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73865826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.322001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59087 KachelY 82574 -0.30914507 -0.73865826 -17.712708 -42.322001
    Oben rechts KachelX + 1 59088 KachelY 82574 -0.30909713 -0.73865826 -17.709961 -42.322001
    Unten links KachelX 59087 KachelY + 1 82575 -0.30914507 -0.73869371 -17.712708 -42.324032
    Unten rechts KachelX + 1 59088 KachelY + 1 82575 -0.30909713 -0.73869371 -17.709961 -42.324032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73865826--0.73869371) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73865826--0.73869371) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30914507--0.30909713) × cos(-0.73865826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739372612800776 × 6371000     		do = 225.823427400524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30914507--0.30909713) × cos(-0.73869371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.739348743976257 × 6371000     		du = 225.816137247132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73865826)-sin(-0.73869371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739372612800776-0.739348743976257)×R²
    abs(-0.30909713--0.30914507)×2.38688245191021e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38688245191021e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38688245191021e-05×40589641000000     		ar = 51001.8381918305m²