Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59082 / 81229
↖ ↑ ↗
← S 39.531585°
W 17.726440°		 ← 235.57 m → S 39.531585°
W 17.723694°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 39.533703°
W 17.726440°		 ← 235.56 m →
55 484 m²		 S 39.533703°
W 17.723694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450763702392578 y=0.619731903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450763702392578 × 217)
    floor (0.450763702392578 × 131072)
    floor (59082.5)     		tx = 59082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619731903076172 × 217)
    floor (0.619731903076172 × 131072)
    floor (81229.5)     		ty = 81229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59082 / 81229 ti = "17/59082/81229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59082/81229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59082 ÷ 217
    59082 ÷ 131072     		x = 0.450759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81229 ÷ 217
    81229 ÷ 131072     		y = 0.619728088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.098480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30938475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619728088378906 × 2 - 1) × π
    -0.239456176757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.752273765737541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30938475} λ = -0.30938475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752273765737541))-π/2
    2×atan(0.471293722002931)-π/2
    2×0.440420005576847-π/2
    0.880840011153694-1.57079632675     		φ = -0.68995632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30938475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.726440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68995632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.531585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59082 KachelY 81229 -0.30938475 -0.68995632 -17.726440 -39.531585
    Oben rechts KachelX + 1 59083 KachelY 81229 -0.30933681 -0.68995632 -17.723694 -39.531585
    Unten links KachelX 59082 KachelY + 1 81230 -0.30938475 -0.68999329 -17.726440 -39.533703
    Unten rechts KachelX + 1 59083 KachelY + 1 81230 -0.30933681 -0.68999329 -17.723694 -39.533703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68995632--0.68999329) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dl = 235.53587000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68995632--0.68999329) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dr = 235.53587000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30938475--0.30933681) × cos(-0.68995632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771273818205471 × 6371000     		do = 235.566876667877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30938475--0.30933681) × cos(-0.68999329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771250286144237 × 6371000     		du = 235.559689370661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68995632)-sin(-0.68999329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771273818205471-0.771250286144237)×R²
    abs(-0.30933681--0.30938475)×2.35320612338441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35320612338441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35320612338441e-05×40589641000000     		ar = 55483.6028124269m²