Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59082 / 46142
↖ ↑ ↗
← N 46.924007°
W 17.726440°		 ← 208.60 m → N 46.924007°
W 17.723694°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
N 46.922131°
W 17.726440°		 ← 208.60 m →
43 511 m²		 N 46.922131°
W 17.723694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450763702392578 y=0.352039337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450763702392578 × 217)
    floor (0.450763702392578 × 131072)
    floor (59082.5)     		tx = 59082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352039337158203 × 217)
    floor (0.352039337158203 × 131072)
    floor (46142.5)     		ty = 46142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59082 / 46142 ti = "17/59082/46142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59082/46142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59082 ÷ 217
    59082 ÷ 131072     		x = 0.450759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46142 ÷ 217
    46142 ÷ 131072     		y = 0.352035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.098480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30938475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352035522460938 × 2 - 1) × π
    0.295928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.929688231231369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30938475} λ = -0.30938475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929688231231369))-π/2
    2×atan(2.53371911997651)-π/2
    2×1.19488737445719-π/2
    2.38977474891439-1.57079632675     		φ = 0.81897842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30938475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.726440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81897842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.924007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59082 KachelY 46142 -0.30938475 0.81897842 -17.726440 46.924007
    Oben rechts KachelX + 1 59083 KachelY 46142 -0.30933681 0.81897842 -17.723694 46.924007
    Unten links KachelX 59082 KachelY + 1 46143 -0.30938475 0.81894568 -17.726440 46.922131
    Unten rechts KachelX + 1 59083 KachelY + 1 46143 -0.30933681 0.81894568 -17.723694 46.922131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81897842-0.81894568) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81897842-0.81894568) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30938475--0.30933681) × cos(0.81897842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682967775122667 × 6371000     		do = 208.595938112858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30938475--0.30933681) × cos(0.81894568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.682991689640671 × 6371000     		du = 208.603242222215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81897842)-sin(0.81894568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682967775122667-0.682991689640671)×R²
    abs(-0.30933681--0.30938475)×2.39145180032097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39145180032097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39145180032097e-05×40589641000000     		ar = 43511.0667624865m²