Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59080 / 81566
↖ ↑ ↗
← S 40.241798°
W 17.731933°		 ← 233.09 m → S 40.241798°
W 17.729187°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 40.243895°
W 17.731933°		 ← 233.08 m →
54 336 m²		 S 40.243895°
W 17.729187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450748443603516 y=0.622303009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450748443603516 × 217)
    floor (0.450748443603516 × 131072)
    floor (59080.5)     		tx = 59080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622303009033203 × 217)
    floor (0.622303009033203 × 131072)
    floor (81566.5)     		ty = 81566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59080 / 81566 ti = "17/59080/81566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59080/81566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59080 ÷ 217
    59080 ÷ 131072     		x = 0.45074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81566 ÷ 217
    81566 ÷ 131072     		y = 0.622299194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30948062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.244598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.7684285009095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30948062} λ = -0.30948062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7684285009095))-π/2
    2×atan(0.463741264957289)-π/2
    2×0.434222222465173-π/2
    0.868444444930345-1.57079632675     		φ = -0.70235188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30948062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.731933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70235188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.241798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59080 KachelY 81566 -0.30948062 -0.70235188 -17.731933 -40.241798
    Oben rechts KachelX + 1 59081 KachelY 81566 -0.30943269 -0.70235188 -17.729187 -40.241798
    Unten links KachelX 59080 KachelY + 1 81567 -0.30948062 -0.70238847 -17.731933 -40.243895
    Unten rechts KachelX + 1 59081 KachelY + 1 81567 -0.30943269 -0.70238847 -17.729187 -40.243895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70235188--0.70238847) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dl = 233.114890000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70235188--0.70238847) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dr = 233.114890000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.70235188) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.763324950687065 × 6371000     		do = 233.090456491325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.70238847) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.763301312497451 × 6371000     		du = 233.083238285759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70235188)-sin(-0.70238847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763324950687065-0.763301312497451)×R²
    abs(-0.30943269--0.30948062)×2.36381896140392e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36381896140392e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36381896140392e-05×40589641000000     		ar = 54336.0147955324m²