Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59080 / 81228
↖ ↑ ↗
← S 39.529466°
W 17.731933°		 ← 235.52 m → S 39.529466°
W 17.729187°		 →
↑
235.60 m
↓
↑
235.60 m
↓
S 39.531585°
W 17.731933°		 ← 235.52 m →
55 489 m²		 S 39.531585°
W 17.729187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450748443603516 y=0.619724273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450748443603516 × 217)
    floor (0.450748443603516 × 131072)
    floor (59080.5)     		tx = 59080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619724273681641 × 217)
    floor (0.619724273681641 × 131072)
    floor (81228.5)     		ty = 81228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59080 / 81228 ti = "17/59080/81228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59080/81228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59080 ÷ 217
    59080 ÷ 131072     		x = 0.45074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81228 ÷ 217
    81228 ÷ 131072     		y = 0.619720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30948062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.752225828837921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30948062} λ = -0.30948062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752225828837921))-π/2
    2×atan(0.471316314904287)-π/2
    2×0.44043849209674-π/2
    0.880876984193479-1.57079632675     		φ = -0.68991934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30948062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.731933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68991934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.529466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59080 KachelY 81228 -0.30948062 -0.68991934 -17.731933 -39.529466
    Oben rechts KachelX + 1 59081 KachelY 81228 -0.30943269 -0.68991934 -17.729187 -39.529466
    Unten links KachelX 59080 KachelY + 1 81229 -0.30948062 -0.68995632 -17.731933 -39.531585
    Unten rechts KachelX + 1 59081 KachelY + 1 81229 -0.30943269 -0.68995632 -17.729187 -39.531585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68991934--0.68995632) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dl = 235.599579999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68991934--0.68995632) × R
    3.69799999999643e-05 × 6371000     		dr = 235.599579999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.68991934) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.771297355577292 × 6371000     		do = 235.524926232585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30948062--0.30943269) × cos(-0.68995632) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.771273818205471 × 6371000     		du = 235.517738812945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68991934)-sin(-0.68995632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771297355577292-0.771273818205471)×R²
    abs(-0.30943269--0.30948062)×2.35373718211473e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35373718211473e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35373718211473e-05×40589641000000     		ar = 55488.7270296609m²