Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5908 / 6907
↖ ↑ ↗
← N 27.156921°
W 50.185547°		 ← 2 173.93 m → N 27.156921°
W 50.163574°		 →
↑
2 174.10 m
↓
↑
2 174.10 m
↓
N 27.137368°
W 50.185547°		 ← 2 174.31 m →
4 726 765 m²		 N 27.137368°
W 50.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360626220703125 y=0.421600341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360626220703125 × 214)
    floor (0.360626220703125 × 16384)
    floor (5908.5)     		tx = 5908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421600341796875 × 214)
    floor (0.421600341796875 × 16384)
    floor (6907.5)     		ty = 6907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5908 / 6907 ti = "14/5908/6907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5908/6907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5908 ÷ 214
    5908 ÷ 16384     		x = 0.360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6907 ÷ 214
    6907 ÷ 16384     		y = 0.42156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42156982421875 × 2 - 1) × π
    0.1568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492791328094177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87590303} λ = -0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492791328094177))-π/2
    2×atan(1.63687891510578)-π/2
    2×1.02238700172857-π/2
    2.04477400345714-1.57079632675     		φ = 0.47397768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47397768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.156921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5908 KachelY 6907 -0.87590303 0.47397768 -50.185547 27.156921
    Oben rechts KachelX + 1 5909 KachelY 6907 -0.87551953 0.47397768 -50.163574 27.156921
    Unten links KachelX 5908 KachelY + 1 6908 -0.87590303 0.47363643 -50.185547 27.137368
    Unten rechts KachelX + 1 5909 KachelY + 1 6908 -0.87551953 0.47363643 -50.163574 27.137368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47397768-0.47363643) × R
    0.000341250000000015 × 6371000     		dl = 2174.1037500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47397768-0.47363643) × R
    0.000341250000000015 × 6371000     		dr = 2174.1037500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87590303--0.87551953) × cos(0.47397768) × R
    0.000383499999999981 × 0.889759803066198 × 6371000     		do = 2173.93099699577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87590303--0.87551953) × cos(0.47363643) × R
    0.000383499999999981 × 0.889915507675197 × 6371000     		du = 2174.31142671929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47397768)-sin(0.47363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889759803066198-0.889915507675197)×R²
    abs(-0.87551953--0.87590303)×0.000155704608998941×R²
    0.000383499999999981×0.000155704608998941×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155704608998941×40589641000000     		ar = 4726765.12552387m²