Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59078 / 81626
↖ ↑ ↗
← S 40.367474°
W 17.737427°		 ← 232.71 m → S 40.367474°
W 17.734680°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.369566°
W 17.737427°		 ← 232.70 m →
54 143 m²		 S 40.369566°
W 17.734680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450733184814453 y=0.622760772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450733184814453 × 217)
    floor (0.450733184814453 × 131072)
    floor (59078.5)     		tx = 59078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622760772705078 × 217)
    floor (0.622760772705078 × 131072)
    floor (81626.5)     		ty = 81626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59078 / 81626 ti = "17/59078/81626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59078/81626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59078 ÷ 217
    59078 ÷ 131072     		x = 0.450729370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81626 ÷ 217
    81626 ÷ 131072     		y = 0.622756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.098541259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30957650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    -0.245513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.771304714886703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30957650} λ = -0.30957650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771304714886703))-π/2
    2×atan(0.462409362186088)-π/2
    2×0.433125499614451-π/2
    0.866250999228903-1.57079632675     		φ = -0.70454533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30957650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.737427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70454533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.367474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59078 KachelY 81626 -0.30957650 -0.70454533 -17.737427 -40.367474
    Oben rechts KachelX + 1 59079 KachelY 81626 -0.30952856 -0.70454533 -17.734680 -40.367474
    Unten links KachelX 59078 KachelY + 1 81627 -0.30957650 -0.70458185 -17.737427 -40.369566
    Unten rechts KachelX + 1 59079 KachelY + 1 81627 -0.30952856 -0.70458185 -17.734680 -40.369566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70454533--0.70458185) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70454533--0.70458185) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30957650--0.30952856) × cos(-0.70454533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761906114571185 × 6371000     		do = 232.705738853276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30957650--0.30952856) × cos(-0.70458185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761882460516316 × 6371000     		du = 232.698514296064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70454533)-sin(-0.70458185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761906114571185-0.761882460516316)×R²
    abs(-0.30952856--0.30957650)×2.36540548688158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36540548688158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36540548688158e-05×40589641000000     		ar = 54142.552477869m²