Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59076 / 81556
↖ ↑ ↗
← S 40.220830°
W 17.742920°		 ← 233.21 m → S 40.220830°
W 17.740173°		 →
↑
233.18 m
↓
↑
233.18 m
↓
S 40.222927°
W 17.742920°		 ← 233.20 m →
54 379 m²		 S 40.222927°
W 17.740173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450717926025391 y=0.622226715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450717926025391 × 217)
    floor (0.450717926025391 × 131072)
    floor (59076.5)     		tx = 59076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622226715087891 × 217)
    floor (0.622226715087891 × 131072)
    floor (81556.5)     		ty = 81556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59076 / 81556 ti = "17/59076/81556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59076/81556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59076 ÷ 217
    59076 ÷ 131072     		x = 0.450714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81556 ÷ 217
    81556 ÷ 131072     		y = 0.622222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.09857177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30967237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.24444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.7679491319133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30967237} λ = -0.30967237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7679491319133))-π/2
    2×atan(0.46396362143311)-π/2
    2×0.434405207950451-π/2
    0.868810415900902-1.57079632675     		φ = -0.70198591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30967237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.742920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70198591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.220830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59076 KachelY 81556 -0.30967237 -0.70198591 -17.742920 -40.220830
    Oben rechts KachelX + 1 59077 KachelY 81556 -0.30962443 -0.70198591 -17.740173 -40.220830
    Unten links KachelX 59076 KachelY + 1 81557 -0.30967237 -0.70202251 -17.742920 -40.222927
    Unten rechts KachelX + 1 59077 KachelY + 1 81557 -0.30962443 -0.70202251 -17.740173 -40.222927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70198591--0.70202251) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dl = 233.178600000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70198591--0.70202251) × R
    3.66000000000533e-05 × 6371000     		dr = 233.178600000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30967237--0.30962443) × cos(-0.70198591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763561321571609 × 6371000     		do = 233.211281676234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30967237--0.30962443) × cos(-0.70202251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763537687147351 × 6371000     		du = 233.204063114715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70198591)-sin(-0.70202251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763561321571609-0.763537687147351)×R²
    abs(-0.30962443--0.30967237)×2.36344242582343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36344242582343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36344242582343e-05×40589641000000     		ar = 54379.0385646012m²