Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59075 / 81620
↖ ↑ ↗
← S 40.354917°
W 17.745667°		 ← 232.75 m → S 40.354917°
W 17.742920°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.357010°
W 17.745667°		 ← 232.74 m →
54 167 m²		 S 40.357010°
W 17.742920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450710296630859 y=0.622714996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450710296630859 × 217)
    floor (0.450710296630859 × 131072)
    floor (59075.5)     		tx = 59075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622714996337891 × 217)
    floor (0.622714996337891 × 131072)
    floor (81620.5)     		ty = 81620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59075 / 81620 ti = "17/59075/81620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59075/81620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59075 ÷ 217
    59075 ÷ 131072     		x = 0.450706481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81620 ÷ 217
    81620 ÷ 131072     		y = 0.622711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450706481933594 × 2 - 1) × π
    -0.0985870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30972031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.24542236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.771017093488983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30972031} λ = -0.30972031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771017093488983))-π/2
    2×atan(0.462542380141647)-π/2
    2×0.433235080071091-π/2
    0.866470160142182-1.57079632675     		φ = -0.70432617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30972031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.745667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70432617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.354917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59075 KachelY 81620 -0.30972031 -0.70432617 -17.745667 -40.354917
    Oben rechts KachelX + 1 59076 KachelY 81620 -0.30967237 -0.70432617 -17.742920 -40.354917
    Unten links KachelX 59075 KachelY + 1 81621 -0.30972031 -0.70436270 -17.745667 -40.357010
    Unten rechts KachelX + 1 59076 KachelY + 1 81621 -0.30967237 -0.70436270 -17.742920 -40.357010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70432617--0.70436270) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dl = 232.73263000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70432617--0.70436270) × R
    3.65300000000346e-05 × 6371000     		dr = 232.73263000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(-0.70432617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.76204804346071 × 6371000     		do = 232.749087589656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(-0.70436270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762024389028917 × 6371000     		du = 232.741862917322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70432617)-sin(-0.70436270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76204804346071-0.762024389028917)×R²
    abs(-0.30967237--0.30972031)×2.36544317929743e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36544317929743e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36544317929743e-05×40589641000000     		ar = 54167.4665825343m²