Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59075 / 46135
↖ ↑ ↗
← N 46.937136°
W 17.745667°		 ← 208.54 m → N 46.937136°
W 17.742920°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 46.935261°
W 17.745667°		 ← 208.55 m →
43 487 m²		 N 46.935261°
W 17.742920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450710296630859 y=0.351985931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450710296630859 × 217)
    floor (0.450710296630859 × 131072)
    floor (59075.5)     		tx = 59075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351985931396484 × 217)
    floor (0.351985931396484 × 131072)
    floor (46135.5)     		ty = 46135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59075 / 46135 ti = "17/59075/46135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59075/46135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59075 ÷ 217
    59075 ÷ 131072     		x = 0.450706481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46135 ÷ 217
    46135 ÷ 131072     		y = 0.351982116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450706481933594 × 2 - 1) × π
    -0.0985870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30972031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351982116699219 × 2 - 1) × π
    0.296035766601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.930023789528709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30972031} λ = -0.30972031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.930023789528709))-π/2
    2×atan(2.5345694731139)-π/2
    2×1.19500194816577-π/2
    2.39000389633154-1.57079632675     		φ = 0.81920757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30972031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.745667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81920757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.937136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59075 KachelY 46135 -0.30972031 0.81920757 -17.745667 46.937136
    Oben rechts KachelX + 1 59076 KachelY 46135 -0.30967237 0.81920757 -17.742920 46.937136
    Unten links KachelX 59075 KachelY + 1 46136 -0.30972031 0.81917484 -17.745667 46.935261
    Unten rechts KachelX + 1 59076 KachelY + 1 46136 -0.30967237 0.81917484 -17.742920 46.935261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81920757-0.81917484) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81920757-0.81917484) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(0.81920757) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682800374918037 × 6371000     		do = 208.544809781723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(0.81917484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682824287253553 × 6371000     		du = 208.552113224494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81920757)-sin(0.81917484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682800374918037-0.682824287253553)×R²
    abs(-0.30967237--0.30972031)×2.39123355163517e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39123355163517e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39123355163517e-05×40589641000000     		ar = 43487.1153888238m²