Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59075 / 35283
↖ ↑ ↗
← N 63.603554°
W 17.745667°		 ← 135.79 m → N 63.603554°
W 17.742920°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 63.602333°
W 17.745667°		 ← 135.79 m →
18 436 m²		 N 63.602333°
W 17.742920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450710296630859 y=0.269191741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450710296630859 × 217)
    floor (0.450710296630859 × 131072)
    floor (59075.5)     		tx = 59075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269191741943359 × 217)
    floor (0.269191741943359 × 131072)
    floor (35283.5)     		ty = 35283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59075 / 35283 ti = "17/59075/35283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59075/35283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59075 ÷ 217
    59075 ÷ 131072     		x = 0.450706481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35283 ÷ 217
    35283 ÷ 131072     		y = 0.269187927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450706481933594 × 2 - 1) × π
    -0.0985870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30972031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269187927246094 × 2 - 1) × π
    0.461624145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.45023502420556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30972031} λ = -0.30972031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45023502420556))-π/2
    2×atan(4.26411656801968)-π/2
    2×1.34044387734463-π/2
    2.68088775468925-1.57079632675     		φ = 1.11009143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30972031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.745667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11009143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.603554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59075 KachelY 35283 -0.30972031 1.11009143 -17.745667 63.603554
    Oben rechts KachelX + 1 59076 KachelY 35283 -0.30967237 1.11009143 -17.742920 63.603554
    Unten links KachelX 59075 KachelY + 1 35284 -0.30972031 1.11007012 -17.745667 63.602333
    Unten rechts KachelX + 1 59076 KachelY + 1 35284 -0.30967237 1.11007012 -17.742920 63.602333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11009143-1.11007012) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11009143-1.11007012) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(1.11009143) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444579621152427 × 6371000     		do = 135.786059779468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30972031--0.30967237) × cos(1.11007012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444598709256759 × 6371000     		du = 135.791889777859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11009143)-sin(1.11007012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444579621152427-0.444598709256759)×R²
    abs(-0.30967237--0.30972031)×1.90881043318214e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90881043318214e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90881043318214e-05×40589641000000     		ar = 18435.5273084123m²