Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59074 / 46138
↖ ↑ ↗
← N 46.931510°
W 17.748413°		 ← 208.57 m → N 46.931510°
W 17.745667°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 46.929635°
W 17.748413°		 ← 208.57 m →
43 492 m²		 N 46.929635°
W 17.745667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450702667236328 y=0.352008819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450702667236328 × 217)
    floor (0.450702667236328 × 131072)
    floor (59074.5)     		tx = 59074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352008819580078 × 217)
    floor (0.352008819580078 × 131072)
    floor (46138.5)     		ty = 46138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59074 / 46138 ti = "17/59074/46138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59074/46138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59074 ÷ 217
    59074 ÷ 131072     		x = 0.450698852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46138 ÷ 217
    46138 ÷ 131072     		y = 0.352005004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450698852539062 × 2 - 1) × π
    -0.098602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30976825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352005004882812 × 2 - 1) × π
    0.295989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.929879978829849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30976825} λ = -0.30976825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929879978829849))-π/2
    2×atan(2.53420500111477)-π/2
    2×1.1949528485869-π/2
    2.3899056971738-1.57079632675     		φ = 0.81910937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30976825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.748413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81910937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.931510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59074 KachelY 46138 -0.30976825 0.81910937 -17.748413 46.931510
    Oben rechts KachelX + 1 59075 KachelY 46138 -0.30972031 0.81910937 -17.745667 46.931510
    Unten links KachelX 59074 KachelY + 1 46139 -0.30976825 0.81907664 -17.748413 46.929635
    Unten rechts KachelX + 1 59075 KachelY + 1 46139 -0.30972031 0.81907664 -17.745667 46.929635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81910937-0.81907664) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dl = 208.522829999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81910937-0.81907664) × R
    3.27299999999253e-05 × 6371000     		dr = 208.522829999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30976825--0.30972031) × cos(0.81910937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682872117035507 × 6371000     		do = 208.566721671041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30976825--0.30972031) × cos(0.81907664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68289602717629 × 6371000     		du = 208.574024443483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81910937)-sin(0.81907664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682872117035507-0.68289602717629)×R²
    abs(-0.30972031--0.30976825)×2.39101407834008e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39101407834008e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39101407834008e-05×40589641000000     		ar = 43491.6844479449m²