Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59073 / 81901
↖ ↑ ↗
← S 40.940490°
W 17.751160°		 ← 230.67 m → S 40.940490°
W 17.748413°		 →
↑
230.69 m
↓
↑
230.69 m
↓
S 40.942564°
W 17.751160°		 ← 230.66 m →
53 213 m²		 S 40.942564°
W 17.748413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450695037841797 y=0.624858856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450695037841797 × 217)
    floor (0.450695037841797 × 131072)
    floor (59073.5)     		tx = 59073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624858856201172 × 217)
    floor (0.624858856201172 × 131072)
    floor (81901.5)     		ty = 81901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59073 / 81901 ti = "17/59073/81901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59073/81901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59073 ÷ 217
    59073 ÷ 131072     		x = 0.450691223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81901 ÷ 217
    81901 ÷ 131072     		y = 0.624855041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450691223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0986175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30981618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624855041503906 × 2 - 1) × π
    -0.249710083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.784487362282219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30981618} λ = -0.30981618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784487362282219))-π/2
    2×atan(0.456353585892383)-π/2
    2×0.428124991807358-π/2
    0.856249983614716-1.57079632675     		φ = -0.71454634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30981618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.751160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71454634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.940490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59073 KachelY 81901 -0.30981618 -0.71454634 -17.751160 -40.940490
    Oben rechts KachelX + 1 59074 KachelY 81901 -0.30976825 -0.71454634 -17.748413 -40.940490
    Unten links KachelX 59073 KachelY + 1 81902 -0.30981618 -0.71458255 -17.751160 -40.942564
    Unten rechts KachelX + 1 59074 KachelY + 1 81902 -0.30976825 -0.71458255 -17.748413 -40.942564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71454634--0.71458255) × R
    3.6210000000092e-05 × 6371000     		dl = 230.693910000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71454634--0.71458255) × R
    3.6210000000092e-05 × 6371000     		dr = 230.693910000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30981618--0.30976825) × cos(-0.71454634) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.755390590896724 × 6371000     		do = 230.667604278997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30981618--0.30976825) × cos(-0.71458255) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.755366862901231 × 6371000     		du = 230.660358650126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71454634)-sin(-0.71458255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755390590896724-0.755366862901231)×R²
    abs(-0.30976825--0.30981618)×2.37279954932168e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37279954932168e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37279954932168e-05×40589641000000     		ar = 53212.7757860083m²