Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59073 / 81473
↖ ↑ ↗
← S 40.046540°
W 17.751160°		 ← 233.76 m → S 40.046540°
W 17.748413°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
S 40.048643°
W 17.751160°		 ← 233.75 m →
54 656 m²		 S 40.048643°
W 17.748413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450695037841797 y=0.621593475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450695037841797 × 217)
    floor (0.450695037841797 × 131072)
    floor (59073.5)     		tx = 59073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621593475341797 × 217)
    floor (0.621593475341797 × 131072)
    floor (81473.5)     		ty = 81473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59073 / 81473 ti = "17/59073/81473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59073/81473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59073 ÷ 217
    59073 ÷ 131072     		x = 0.450691223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81473 ÷ 217
    81473 ÷ 131072     		y = 0.621589660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450691223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0986175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30981618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621589660644531 × 2 - 1) × π
    -0.243179321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.763970369244835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30981618} λ = -0.30981618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763970369244835))-π/2
    2×atan(0.465813299845183)-π/2
    2×0.435926173265206-π/2
    0.871852346530413-1.57079632675     		φ = -0.69894398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30981618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.751160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69894398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.046540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59073 KachelY 81473 -0.30981618 -0.69894398 -17.751160 -40.046540
    Oben rechts KachelX + 1 59074 KachelY 81473 -0.30976825 -0.69894398 -17.748413 -40.046540
    Unten links KachelX 59073 KachelY + 1 81474 -0.30981618 -0.69898068 -17.751160 -40.048643
    Unten rechts KachelX + 1 59074 KachelY + 1 81474 -0.30976825 -0.69898068 -17.748413 -40.048643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69894398--0.69898068) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69894398--0.69898068) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30981618--0.30976825) × cos(-0.69894398) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.765522067452479 × 6371000     		do = 233.761372526958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30981618--0.30976825) × cos(-0.69898068) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.765498453803176 × 6371000     		du = 233.754161815071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69894398)-sin(-0.69898068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765522067452479-0.765498453803176)×R²
    abs(-0.30976825--0.30981618)×2.36136493025896e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36136493025896e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36136493025896e-05×40589641000000     		ar = 54656.2359675401m²