Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59071 / 38980
↖ ↑ ↗
← N 58.716894°
W 17.756653°		 ← 158.60 m → N 58.716894°
W 17.753906°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 58.715468°
W 17.756653°		 ← 158.60 m →
25 150 m²		 N 58.715468°
W 17.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450679779052734 y=0.297397613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450679779052734 × 217)
    floor (0.450679779052734 × 131072)
    floor (59071.5)     		tx = 59071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297397613525391 × 217)
    floor (0.297397613525391 × 131072)
    floor (38980.5)     		ty = 38980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59071 / 38980 ti = "17/59071/38980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59071/38980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59071 ÷ 217
    59071 ÷ 131072     		x = 0.450675964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38980 ÷ 217
    38980 ÷ 131072     		y = 0.297393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450675964355469 × 2 - 1) × π
    -0.0986480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30991206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297393798828125 × 2 - 1) × π
    0.40521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27301230631021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30991206} λ = -0.30991206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27301230631021))-π/2
    2×atan(3.57159511280194)-π/2
    2×1.29779973079192-π/2
    2.59559946158384-1.57079632675     		φ = 1.02480313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30991206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.756653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02480313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.716894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59071 KachelY 38980 -0.30991206 1.02480313 -17.756653 58.716894
    Oben rechts KachelX + 1 59072 KachelY 38980 -0.30986412 1.02480313 -17.753906 58.716894
    Unten links KachelX 59071 KachelY + 1 38981 -0.30991206 1.02477824 -17.756653 58.715468
    Unten rechts KachelX + 1 59072 KachelY + 1 38981 -0.30986412 1.02477824 -17.753906 58.715468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02480313-1.02477824) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02480313-1.02477824) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30991206--0.30986412) × cos(1.02480313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5192671443552 × 6371000     		do = 158.59755182227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30991206--0.30986412) × cos(1.02477824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.519288415486482 × 6371000     		du = 158.604048573282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02480313)-sin(1.02477824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5192671443552-0.519288415486482)×R²
    abs(-0.30986412--0.30991206)×2.12711312818081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12711312818081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12711312818081e-05×40589641000000     		ar = 25149.9934257705m²