Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59070 / 81552
↖ ↑ ↗
← S 40.212441°
W 17.759399°		 ← 233.19 m → S 40.212441°
W 17.756653°		 →
↑
233.24 m
↓
↑
233.24 m
↓
S 40.214538°
W 17.759399°		 ← 233.18 m →
54 389 m²		 S 40.214538°
W 17.756653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450672149658203 y=0.622196197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450672149658203 × 217)
    floor (0.450672149658203 × 131072)
    floor (59070.5)     		tx = 59070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622196197509766 × 217)
    floor (0.622196197509766 × 131072)
    floor (81552.5)     		ty = 81552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59070 / 81552 ti = "17/59070/81552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59070/81552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59070 ÷ 217
    59070 ÷ 131072     		x = 0.450668334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81552 ÷ 217
    81552 ÷ 131072     		y = 0.6221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450668334960938 × 2 - 1) × π
    -0.098663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30995999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.767757384314819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30995999} λ = -0.30995999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767757384314819))-π/2
    2×atan(0.464052593873156)-π/2
    2×0.434478418007261-π/2
    0.868956836014522-1.57079632675     		φ = -0.70183949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30995999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.759399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70183949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.212441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59070 KachelY 81552 -0.30995999 -0.70183949 -17.759399 -40.212441
    Oben rechts KachelX + 1 59071 KachelY 81552 -0.30991206 -0.70183949 -17.756653 -40.212441
    Unten links KachelX 59070 KachelY + 1 81553 -0.30995999 -0.70187610 -17.759399 -40.214538
    Unten rechts KachelX + 1 59071 KachelY + 1 81553 -0.30991206 -0.70187610 -17.756653 -40.214538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70183949--0.70187610) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dl = 233.242309999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70183949--0.70187610) × R
    3.66099999999925e-05 × 6371000     		dr = 233.242309999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30995999--0.30991206) × cos(-0.70183949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763655861952434 × 6371000     		do = 233.191504227338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30995999--0.30991206) × cos(-0.70187610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.763632225163755 × 6371000     		du = 233.184286449564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70183949)-sin(-0.70187610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763655861952434-0.763632225163755)×R²
    abs(-0.30991206--0.30995999)×2.36367886790045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36367886790045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36367886790045e-05×40589641000000     		ar = 54389.2833787239m²