Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59070 / 35276
↖ ↑ ↗
← N 63.612100°
W 17.759399°		 ← 135.72 m → N 63.612100°
W 17.756653°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 63.610879°
W 17.759399°		 ← 135.72 m →
18 426 m²		 N 63.610879°
W 17.756653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450672149658203 y=0.269138336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450672149658203 × 217)
    floor (0.450672149658203 × 131072)
    floor (59070.5)     		tx = 59070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269138336181641 × 217)
    floor (0.269138336181641 × 131072)
    floor (35276.5)     		ty = 35276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59070 / 35276 ti = "17/59070/35276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59070/35276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59070 ÷ 217
    59070 ÷ 131072     		x = 0.450668334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35276 ÷ 217
    35276 ÷ 131072     		y = 0.269134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450668334960938 × 2 - 1) × π
    -0.098663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30995999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269134521484375 × 2 - 1) × π
    0.46173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4505705825029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30995999} λ = -0.30995999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4505705825029))-π/2
    2×atan(4.26554766781018)-π/2
    2×1.3405184573261-π/2
    2.6810369146522-1.57079632675     		φ = 1.11024059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30995999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.759399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11024059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.612100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59070 KachelY 35276 -0.30995999 1.11024059 -17.759399 63.612100
    Oben rechts KachelX + 1 59071 KachelY 35276 -0.30991206 1.11024059 -17.756653 63.612100
    Unten links KachelX 59070 KachelY + 1 35277 -0.30995999 1.11021928 -17.759399 63.610879
    Unten rechts KachelX + 1 59071 KachelY + 1 35277 -0.30991206 1.11021928 -17.756653 63.610879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11024059-1.11021928) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dl = 135.766010001039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11024059-1.11021928) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dr = 135.766010001039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30995999--0.30991206) × cos(1.11024059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444446007727705 × 6371000     		do = 135.716935145211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30995999--0.30991206) × cos(1.11021928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.444465097244995 × 6371000     		du = 135.722764358962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11024059)-sin(1.11021928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444446007727705-0.444465097244995)×R²
    abs(-0.30991206--0.30995999)×1.90895172906269e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90895172906269e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90895172906269e-05×40589641000000     		ar = 18426.1424794872m²