Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59068 / 82045
↖ ↑ ↗
← S 41.238577°
W 17.764893°		 ← 229.67 m → S 41.238577°
W 17.762146°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 41.240642°
W 17.764893°		 ← 229.66 m →
52 749 m²		 S 41.240642°
W 17.762146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450656890869141 y=0.625957489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450656890869141 × 217)
    floor (0.450656890869141 × 131072)
    floor (59068.5)     		tx = 59068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625957489013672 × 217)
    floor (0.625957489013672 × 131072)
    floor (82045.5)     		ty = 82045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59068 / 82045 ti = "17/59068/82045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59068/82045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59068 ÷ 217
    59068 ÷ 131072     		x = 0.450653076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82045 ÷ 217
    82045 ÷ 131072     		y = 0.625953674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.09869384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31005587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625953674316406 × 2 - 1) × π
    -0.251907348632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.791390275827507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31005587} λ = -0.31005587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791390275827507))-π/2
    2×atan(0.453214264241628)-π/2
    2×0.425523693287374-π/2
    0.851047386574749-1.57079632675     		φ = -0.71974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31005587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.764893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.238577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59068 KachelY 82045 -0.31005587 -0.71974894 -17.764893 -41.238577
    Oben rechts KachelX + 1 59069 KachelY 82045 -0.31000793 -0.71974894 -17.762146 -41.238577
    Unten links KachelX 59068 KachelY + 1 82046 -0.31005587 -0.71978499 -17.764893 -41.240642
    Unten rechts KachelX + 1 59069 KachelY + 1 82046 -0.31000793 -0.71978499 -17.762146 -41.240642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71974894--0.71978499) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71974894--0.71978499) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31005587--0.31000793) × cos(-0.71974894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.751971250561321 × 6371000     		do = 229.671375661532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31005587--0.31000793) × cos(-0.71978499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.751947486060397 × 6371000     		du = 229.664117371252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71974894)-sin(-0.71978499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751971250561321-0.751947486060397)×R²
    abs(-0.31000793--0.31005587)×2.37645009243392e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37645009243392e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37645009243392e-05×40589641000000     		ar = 52748.836336172m²