Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59067 / 45433
↖ ↑ ↗
← N 48.237479°
W 17.767639°		 ← 203.38 m → N 48.237479°
W 17.764893°		 →
↑
203.43 m
↓
↑
203.43 m
↓
N 48.235650°
W 17.767639°		 ← 203.39 m →
41 374 m²		 N 48.235650°
W 17.764893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450649261474609 y=0.346630096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450649261474609 × 217)
    floor (0.450649261474609 × 131072)
    floor (59067.5)     		tx = 59067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346630096435547 × 217)
    floor (0.346630096435547 × 131072)
    floor (45433.5)     		ty = 45433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59067 / 45433 ti = "17/59067/45433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59067/45433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59067 ÷ 217
    59067 ÷ 131072     		x = 0.450645446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45433 ÷ 217
    45433 ÷ 131072     		y = 0.346626281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450645446777344 × 2 - 1) × π
    -0.0987091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31010380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346626281738281 × 2 - 1) × π
    0.306747436523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.963675493061989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31010380} λ = -0.31010380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963675493061989))-π/2
    2×atan(2.62131340835355)-π/2
    2×1.20634958499859-π/2
    2.41269916999719-1.57079632675     		φ = 0.84190284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31010380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.767639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84190284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.237479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59067 KachelY 45433 -0.31010380 0.84190284 -17.767639 48.237479
    Oben rechts KachelX + 1 59068 KachelY 45433 -0.31005587 0.84190284 -17.764893 48.237479
    Unten links KachelX 59067 KachelY + 1 45434 -0.31010380 0.84187091 -17.767639 48.235650
    Unten rechts KachelX + 1 59068 KachelY + 1 45434 -0.31005587 0.84187091 -17.764893 48.235650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84190284-0.84187091) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dl = 203.426030000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84190284-0.84187091) × R
    3.19300000000133e-05 × 6371000     		dr = 203.426030000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31010380--0.31005587) × cos(0.84190284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66604468160762 × 6371000     		do = 203.384756046295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31010380--0.31005587) × cos(0.84187091) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		du = 203.392028739472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84190284)-sin(0.84187091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66604468160762-0.666068498233336)×R²
    abs(-0.31005587--0.31010380)×2.38166257162664e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38166257162664e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38166257162664e-05×40589641000000     		ar = 41374.4932160911m²