Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59067 / 35274
↖ ↑ ↗
← N 63.614541°
W 17.767639°		 ← 135.71 m → N 63.614541°
W 17.764893°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 63.613320°
W 17.767639°		 ← 135.71 m →
18 425 m²		 N 63.613320°
W 17.764893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450649261474609 y=0.269123077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450649261474609 × 217)
    floor (0.450649261474609 × 131072)
    floor (59067.5)     		tx = 59067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269123077392578 × 217)
    floor (0.269123077392578 × 131072)
    floor (35274.5)     		ty = 35274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59067 / 35274 ti = "17/59067/35274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59067/35274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59067 ÷ 217
    59067 ÷ 131072     		x = 0.450645446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35274 ÷ 217
    35274 ÷ 131072     		y = 0.269119262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450645446777344 × 2 - 1) × π
    -0.0987091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31010380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269119262695312 × 2 - 1) × π
    0.461761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45066645630214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31010380} λ = -0.31010380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45066645630214))-π/2
    2×atan(4.26595664167556)-π/2
    2×1.34053976177497-π/2
    2.68107952354995-1.57079632675     		φ = 1.11028320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31010380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.767639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11028320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.614541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59067 KachelY 35274 -0.31010380 1.11028320 -17.767639 63.614541
    Oben rechts KachelX + 1 59068 KachelY 35274 -0.31005587 1.11028320 -17.764893 63.614541
    Unten links KachelX 59067 KachelY + 1 35275 -0.31010380 1.11026189 -17.767639 63.613320
    Unten rechts KachelX + 1 59068 KachelY + 1 35275 -0.31005587 1.11026189 -17.764893 63.613320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11028320-1.11026189) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11028320-1.11026189) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31010380--0.31005587) × cos(1.11028320) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444407837045888 × 6371000     		do = 135.705279268168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31010380--0.31005587) × cos(1.11026189) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.444426926966735 × 6371000     		du = 135.71110860515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11028320)-sin(1.11026189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444407837045888-0.444426926966735)×R²
    abs(-0.31005587--0.31010380)×1.9089920847204e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9089920847204e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9089920847204e-05×40589641000000     		ar = 18424.5600157893m²