Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59066 / 81626
↖ ↑ ↗
← S 40.367474°
W 17.770386°		 ← 232.71 m → S 40.367474°
W 17.767639°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.369566°
W 17.770386°		 ← 232.70 m →
54 143 m²		 S 40.369566°
W 17.767639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450641632080078 y=0.622760772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450641632080078 × 217)
    floor (0.450641632080078 × 131072)
    floor (59066.5)     		tx = 59066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622760772705078 × 217)
    floor (0.622760772705078 × 131072)
    floor (81626.5)     		ty = 81626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59066 / 81626 ti = "17/59066/81626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59066/81626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59066 ÷ 217
    59066 ÷ 131072     		x = 0.450637817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81626 ÷ 217
    81626 ÷ 131072     		y = 0.622756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450637817382812 × 2 - 1) × π
    -0.098724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31015174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622756958007812 × 2 - 1) × π
    -0.245513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.771304714886703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31015174} λ = -0.31015174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771304714886703))-π/2
    2×atan(0.462409362186088)-π/2
    2×0.433125499614451-π/2
    0.866250999228903-1.57079632675     		φ = -0.70454533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31015174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.770386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70454533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.367474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59066 KachelY 81626 -0.31015174 -0.70454533 -17.770386 -40.367474
    Oben rechts KachelX + 1 59067 KachelY 81626 -0.31010380 -0.70454533 -17.767639 -40.367474
    Unten links KachelX 59066 KachelY + 1 81627 -0.31015174 -0.70458185 -17.770386 -40.369566
    Unten rechts KachelX + 1 59067 KachelY + 1 81627 -0.31010380 -0.70458185 -17.767639 -40.369566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70454533--0.70458185) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70454533--0.70458185) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31015174--0.31010380) × cos(-0.70454533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761906114571185 × 6371000     		do = 232.705738853546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31015174--0.31010380) × cos(-0.70458185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761882460516316 × 6371000     		du = 232.698514296334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70454533)-sin(-0.70458185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761906114571185-0.761882460516316)×R²
    abs(-0.31010380--0.31015174)×2.36540548688158e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36540548688158e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36540548688158e-05×40589641000000     		ar = 54142.5524779317m²