Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59064 / 46008
↖ ↑ ↗
← N 47.174779°
W 17.775879°		 ← 207.57 m → N 47.174779°
W 17.773132°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
N 47.172911°
W 17.775879°		 ← 207.58 m →
43 100 m²		 N 47.172911°
W 17.773132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450626373291016 y=0.351016998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450626373291016 × 217)
    floor (0.450626373291016 × 131072)
    floor (59064.5)     		tx = 59064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351016998291016 × 217)
    floor (0.351016998291016 × 131072)
    floor (46008.5)     		ty = 46008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59064 / 46008 ti = "17/59064/46008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59064/46008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59064 ÷ 217
    59064 ÷ 131072     		x = 0.45062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46008 ÷ 217
    46008 ÷ 131072     		y = 0.35101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.0987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31024761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35101318359375 × 2 - 1) × π
    0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31024761} λ = -0.31024761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936111775780457))-π/2
    2×atan(2.55004696278826)-π/2
    2×1.19707576634799-π/2
    2.39415153269598-1.57079632675     		φ = 0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31024761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.775879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59064 KachelY 46008 -0.31024761 0.82335521 -17.775879 47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 59065 KachelY 46008 -0.31019968 0.82335521 -17.773132 47.174779
    Unten links KachelX 59064 KachelY + 1 46009 -0.31024761 0.82332262 -17.775879 47.172911
    Unten rechts KachelX + 1 59065 KachelY + 1 46009 -0.31019968 0.82332262 -17.773132 47.172911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82335521-0.82332262) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82335521-0.82332262) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31024761--0.31019968) × cos(0.82335521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 207.574183381804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31024761--0.31019968) × cos(0.82332262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679788126210085 × 6371000     		du = 207.581482189535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82335521)-sin(0.82332262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679788126210085)×R²
    abs(-0.31019968--0.31024761)×2.39021456944766e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39021456944766e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39021456944766e-05×40589641000000     		ar = 43099.5701694369m²