Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59060 / 27057
↖ ↑ ↗
← N 72.032442°
W 17.786865°		 ← 94.20 m → N 72.032442°
W 17.784119°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.031595°
W 17.786865°		 ← 94.20 m →
8 876 m²		 N 72.031595°
W 17.784119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450595855712891 y=0.206432342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450595855712891 × 217)
    floor (0.450595855712891 × 131072)
    floor (59060.5)     		tx = 59060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206432342529297 × 217)
    floor (0.206432342529297 × 131072)
    floor (27057.5)     		ty = 27057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59060 / 27057 ti = "17/59060/27057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59060/27057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59060 ÷ 217
    59060 ÷ 131072     		x = 0.450592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27057 ÷ 217
    27057 ÷ 131072     		y = 0.206428527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.09881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31043936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206428527832031 × 2 - 1) × π
    0.587142944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84456396048014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31043936} λ = -0.31043936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84456396048014))-π/2
    2×atan(6.32534109030268)-π/2
    2×1.41399980424887-π/2
    2.82799960849775-1.57079632675     		φ = 1.25720328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31043936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.786865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25720328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.032442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59060 KachelY 27057 -0.31043936 1.25720328 -17.786865 72.032442
    Oben rechts KachelX + 1 59061 KachelY 27057 -0.31039143 1.25720328 -17.784119 72.032442
    Unten links KachelX 59060 KachelY + 1 27058 -0.31043936 1.25718849 -17.786865 72.031595
    Unten rechts KachelX + 1 59061 KachelY + 1 27058 -0.31039143 1.25718849 -17.784119 72.031595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25720328-1.25718849) × R
    1.47899999998202e-05 × 6371000     		dl = 94.2270899988547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25720328-1.25718849) × R
    1.47899999998202e-05 × 6371000     		dr = 94.2270899988547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31043936--0.31039143) × cos(1.25720328) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.308478439012746 × 6371000     		do = 94.1976023481119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31043936--0.31039143) × cos(1.25718849) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.308492507690451 × 6371000     		du = 94.2018983880952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25720328)-sin(1.25718849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308478439012746-0.308492507690451)×R²
    abs(-0.31039143--0.31043936)×1.40686777048704e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.40686777048704e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.40686777048704e-05×40589641000000     		ar = 8876.16835576742m²