Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59059 / 27058
↖ ↑ ↗
← N 72.031595°
W 17.789612°		 ← 94.22 m → N 72.031595°
W 17.786865°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
N 72.030748°
W 17.789612°		 ← 94.23 m →
8 872 m²		 N 72.030748°
W 17.786865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450588226318359 y=0.206439971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450588226318359 × 217)
    floor (0.450588226318359 × 131072)
    floor (59059.5)     		tx = 59059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206439971923828 × 217)
    floor (0.206439971923828 × 131072)
    floor (27058.5)     		ty = 27058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59059 / 27058 ti = "17/59059/27058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59059/27058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59059 ÷ 217
    59059 ÷ 131072     		x = 0.450584411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27058 ÷ 217
    27058 ÷ 131072     		y = 0.206436157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450584411621094 × 2 - 1) × π
    -0.0988311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31048730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206436157226562 × 2 - 1) × π
    0.587127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84451602358052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31048730} λ = -0.31048730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84451602358052))-π/2
    2×atan(6.32503788032931)-π/2
    2×1.41399241033035-π/2
    2.82798482066071-1.57079632675     		φ = 1.25718849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31048730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.789612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25718849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.031595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59059 KachelY 27058 -0.31048730 1.25718849 -17.789612 72.031595
    Oben rechts KachelX + 1 59060 KachelY 27058 -0.31043936 1.25718849 -17.786865 72.031595
    Unten links KachelX 59059 KachelY + 1 27059 -0.31048730 1.25717371 -17.789612 72.030748
    Unten rechts KachelX + 1 59060 KachelY + 1 27059 -0.31043936 1.25717371 -17.786865 72.030748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25718849-1.25717371) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25718849-1.25717371) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31048730--0.31043936) × cos(1.25718849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.308492507690451 × 6371000     		do = 94.221552445859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31048730--0.31043936) × cos(1.25717371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.308506566788453 × 6371000     		du = 94.22584645627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25718849)-sin(1.25717371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308492507690451-0.308506566788453)×R²
    abs(-0.31043936--0.31048730)×1.40590980021171e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.40590980021171e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.40590980021171e-05×40589641000000     		ar = 8872.42201679519m²