Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59057 / 46015
↖ ↑ ↗
← N 47.161708°
W 17.795105°		 ← 207.63 m → N 47.161708°
W 17.792359°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
N 47.159840°
W 17.795105°		 ← 207.63 m →
43 123 m²		 N 47.159840°
W 17.792359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450572967529297 y=0.351070404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450572967529297 × 217)
    floor (0.450572967529297 × 131072)
    floor (59057.5)     		tx = 59057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351070404052734 × 217)
    floor (0.351070404052734 × 131072)
    floor (46015.5)     		ty = 46015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59057 / 46015 ti = "17/59057/46015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59057/46015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59057 ÷ 217
    59057 ÷ 131072     		x = 0.450569152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46015 ÷ 217
    46015 ÷ 131072     		y = 0.351066589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450569152832031 × 2 - 1) × π
    -0.0988616943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31058317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351066589355469 × 2 - 1) × π
    0.297866821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.935776217483116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31058317} λ = -0.31058317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935776217483116))-π/2
    2×atan(2.54919141692207)-π/2
    2×1.19696170205013-π/2
    2.39392340410026-1.57079632675     		φ = 0.82312708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31058317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.795105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82312708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.161708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59057 KachelY 46015 -0.31058317 0.82312708 -17.795105 47.161708
    Oben rechts KachelX + 1 59058 KachelY 46015 -0.31053524 0.82312708 -17.792359 47.161708
    Unten links KachelX 59057 KachelY + 1 46016 -0.31058317 0.82309448 -17.795105 47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 59058 KachelY + 1 46016 -0.31053524 0.82309448 -17.792359 47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82312708-0.82309448) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dl = 207.694600000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82312708-0.82309448) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dr = 207.694600000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31058317--0.31053524) × cos(0.82312708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679931523921186 × 6371000     		do = 207.625270405694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31058317--0.31053524) × cos(0.82309448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 207.632569909022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82312708)-sin(0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679931523921186-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.31053524--0.31058317)×2.39044236366448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39044236366448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39044236366448e-05×40589641000000     		ar = 43123.4055242698m²