Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59056 / 30896
↖ ↑ ↗
← N 68.479925°
W 17.797852°		 ← 112.04 m → N 68.479925°
W 17.795105°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
N 68.478918°
W 17.797852°		 ← 112.04 m →
12 549 m²		 N 68.478918°
W 17.795105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450565338134766 y=0.235721588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450565338134766 × 217)
    floor (0.450565338134766 × 131072)
    floor (59056.5)     		tx = 59056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235721588134766 × 217)
    floor (0.235721588134766 × 131072)
    floor (30896.5)     		ty = 30896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59056 / 30896 ti = "17/59056/30896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59056/30896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59056 ÷ 217
    59056 ÷ 131072     		x = 0.4505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30896 ÷ 217
    30896 ÷ 131072     		y = 0.2357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2357177734375 × 2 - 1) × π
    0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31063111} λ = -0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66053420283875))-π/2
    2×atan(5.26212113379529)-π/2
    2×1.3829982503836-π/2
    2.76599650076721-1.57079632675     		φ = 1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59056 KachelY 30896 -0.31063111 1.19520017 -17.797852 68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 59057 KachelY 30896 -0.31058317 1.19520017 -17.795105 68.479925
    Unten links KachelX 59056 KachelY + 1 30897 -0.31063111 1.19518259 -17.797852 68.478918
    Unten rechts KachelX + 1 59057 KachelY + 1 30897 -0.31058317 1.19518259 -17.795105 68.478918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19520017-1.19518259) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19520017-1.19518259) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31063111--0.31058317) × cos(1.19520017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 112.03846669312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31063111--0.31058317) × cos(1.19518259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366843546833238 × 6371000     		du = 112.043461755693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19520017)-sin(1.19518259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366843546833238)×R²
    abs(-0.31058317--0.31063111)×1.63544257045789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63544257045789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63544257045789e-05×40589641000000     		ar = 12548.8322426661m²