Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59055 / 45469
↖ ↑ ↗
← N 48.171581°
W 17.800598°		 ← 203.69 m → N 48.171581°
W 17.797852°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
N 48.169749°
W 17.800598°		 ← 203.70 m →
41 488 m²		 N 48.169749°
W 17.797852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450557708740234 y=0.346904754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450557708740234 × 217)
    floor (0.450557708740234 × 131072)
    floor (59055.5)     		tx = 59055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346904754638672 × 217)
    floor (0.346904754638672 × 131072)
    floor (45469.5)     		ty = 45469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59055 / 45469 ti = "17/59055/45469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59055/45469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59055 ÷ 217
    59055 ÷ 131072     		x = 0.450553894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45469 ÷ 217
    45469 ÷ 131072     		y = 0.346900939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450553894042969 × 2 - 1) × π
    -0.0988922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31067905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346900939941406 × 2 - 1) × π
    0.306198120117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.961949764675667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31067905} λ = -0.31067905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961949764675667))-π/2
    2×atan(2.61679363446806)-π/2
    2×1.20577450896913-π/2
    2.41154901793827-1.57079632675     		φ = 0.84075269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31067905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.800598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84075269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.171581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59055 KachelY 45469 -0.31067905 0.84075269 -17.800598 48.171581
    Oben rechts KachelX + 1 59056 KachelY 45469 -0.31063111 0.84075269 -17.797852 48.171581
    Unten links KachelX 59055 KachelY + 1 45470 -0.31067905 0.84072072 -17.800598 48.169749
    Unten rechts KachelX + 1 59056 KachelY + 1 45470 -0.31063111 0.84072072 -17.797852 48.169749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84075269-0.84072072) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84075269-0.84072072) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31067905--0.31063111) × cos(0.84075269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666902151391328 × 6371000     		do = 203.689083096391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31067905--0.31063111) × cos(0.84072072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.666925973345802 × 6371000     		du = 203.696358934464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84075269)-sin(0.84072072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666902151391328-0.666925973345802)×R²
    abs(-0.31063111--0.31067905)×2.38219544735907e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38219544735907e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38219544735907e-05×40589641000000     		ar = 41488.310632548m²