Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59052 / 59083
↖ ↑ ↗
← S 80.826529°
E144.382324°		 ← 97.37 m → S 80.826529°
E144.387817°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 80.827405°
E144.382324°		 ← 97.37 m →
9 479 m²		 S 80.827405°
E144.387817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.901069641113281 y=0.901542663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.901069641113281 × 216)
    floor (0.901069641113281 × 65536)
    floor (59052.5)     		tx = 59052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901542663574219 × 216)
    floor (0.901542663574219 × 65536)
    floor (59083.5)     		ty = 59083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59052 / 59083 ti = "16/59052/59083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59052/59083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59052 ÷ 216
    59052 ÷ 65536     		x = 0.90106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59083 ÷ 216
    59083 ÷ 65536     		y = 0.901535034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90106201171875 × 2 - 1) × π
    0.8021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.51994694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.803070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52291902700356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.51994694} λ = 2.51994694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52291902700356))-π/2
    2×atan(0.0802250854382795)-π/2
    2×0.0800536357592336-π/2
    0.160107271518467-1.57079632675     		φ = -1.41068906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.51994694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41068906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.826529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59052 KachelY 59083 2.51994694 -1.41068906 144.382324 -80.826529
    Oben rechts KachelX + 1 59053 KachelY 59083 2.52004281 -1.41068906 144.387817 -80.826529
    Unten links KachelX 59052 KachelY + 1 59084 2.51994694 -1.41070434 144.382324 -80.827405
    Unten rechts KachelX + 1 59053 KachelY + 1 59084 2.52004281 -1.41070434 144.387817 -80.827405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41068906--1.41070434) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41068906--1.41070434) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.51994694-2.52004281) × cos(-1.41068906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159424102403994 × 6371000     		do = 97.3742919915852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.51994694-2.52004281) × cos(-1.41070434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159409017813709 × 6371000     		du = 97.3650785083235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41068906)-sin(-1.41070434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159424102403994-0.159409017813709)×R²
    abs(2.52004281-2.51994694)×1.50845902852359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50845902852359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50845902852359e-05×40589641000000     		ar = 9478.82980543263m²