Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59051 / 81244
↖ ↑ ↗
← S 39.563353°
W 17.811584°		 ← 235.41 m → S 39.563353°
W 17.808838°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
S 39.565470°
W 17.811584°		 ← 235.40 m →
55 417 m²		 S 39.565470°
W 17.808838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450527191162109 y=0.619846343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450527191162109 × 217)
    floor (0.450527191162109 × 131072)
    floor (59051.5)     		tx = 59051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619846343994141 × 217)
    floor (0.619846343994141 × 131072)
    floor (81244.5)     		ty = 81244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59051 / 81244 ti = "17/59051/81244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59051/81244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59051 ÷ 217
    59051 ÷ 131072     		x = 0.450523376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81244 ÷ 217
    81244 ÷ 131072     		y = 0.619842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450523376464844 × 2 - 1) × π
    -0.0989532470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31087079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.23968505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.752992819231842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31087079} λ = -0.31087079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752992819231842))-π/2
    2×atan(0.47095495841445)-π/2
    2×0.440142775469223-π/2
    0.880285550938445-1.57079632675     		φ = -0.69051078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31087079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.811584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69051078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.563353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59051 KachelY 81244 -0.31087079 -0.69051078 -17.811584 -39.563353
    Oben rechts KachelX + 1 59052 KachelY 81244 -0.31082286 -0.69051078 -17.808838 -39.563353
    Unten links KachelX 59051 KachelY + 1 81245 -0.31087079 -0.69054773 -17.811584 -39.565470
    Unten rechts KachelX + 1 59052 KachelY + 1 81245 -0.31082286 -0.69054773 -17.808838 -39.565470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69051078--0.69054773) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dl = 235.408450000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69051078--0.69054773) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dr = 235.408450000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31087079--0.31082286) × cos(-0.69051078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.77092078394173 × 6371000     		do = 235.409935553782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31087079--0.31082286) × cos(-0.69054773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770897248813678 × 6371000     		du = 235.402748819304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69051078)-sin(-0.69054773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77092078394173-0.770897248813678)×R²
    abs(-0.31082286--0.31087079)×2.3535128052643e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3535128052643e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3535128052643e-05×40589641000000     		ar = 55416.6421407069m²