Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5905 / 6928
↖ ↑ ↗
← N 26.745610°
W 50.251465°		 ← 2 181.88 m → N 26.745610°
W 50.229492°		 →
↑
2 182 m
↓
↑
2 182 m
↓
N 26.725987°
W 50.251465°		 ← 2 182.26 m →
4 761 282 m²		 N 26.725987°
W 50.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360443115234375 y=0.422882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360443115234375 × 214)
    floor (0.360443115234375 × 16384)
    floor (5905.5)     		tx = 5905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422882080078125 × 214)
    floor (0.422882080078125 × 16384)
    floor (6928.5)     		ty = 6928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5905 / 6928 ti = "14/5905/6928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5905/6928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5905 ÷ 214
    5905 ÷ 16384     		x = 0.36041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6928 ÷ 214
    6928 ÷ 16384     		y = 0.4228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2791748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87705352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.484737928958008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87705352} λ = -0.87705352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484737928958008))-π/2
    2×atan(1.62374941537758)-π/2
    2×1.01879764420374-π/2
    2.03759528840748-1.57079632675     		φ = 0.46679896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87705352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.251465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46679896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.745610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5905 KachelY 6928 -0.87705352 0.46679896 -50.251465 26.745610
    Oben rechts KachelX + 1 5906 KachelY 6928 -0.87667002 0.46679896 -50.229492 26.745610
    Unten links KachelX 5905 KachelY + 1 6929 -0.87705352 0.46645647 -50.251465 26.725987
    Unten rechts KachelX + 1 5906 KachelY + 1 6929 -0.87667002 0.46645647 -50.229492 26.725987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46679896-0.46645647) × R
    0.000342489999999973 × 6371000     		dl = 2182.00378999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46679896-0.46645647) × R
    0.000342489999999973 × 6371000     		dr = 2182.00378999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87705352--0.87667002) × cos(0.46679896) × R
    0.000383499999999981 × 0.893013425041148 × 6371000     		do = 2181.88050161429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87705352--0.87667002) × cos(0.46645647) × R
    0.000383499999999981 × 0.89316750344616 × 6371000     		du = 2182.25695806857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46679896)-sin(0.46645647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893013425041148-0.89316750344616)×R²
    abs(-0.87667002--0.87705352)×0.000154078405011693×R²
    0.000383499999999981×0.000154078405011693×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154078405011693×40589641000000     		ar = 4761282.28509487m²