Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59045 / 81608
↖ ↑ ↗
← S 40.329796°
W 17.828064°		 ← 232.84 m → S 40.329796°
W 17.825317°		 →
↑
232.86 m
↓
↑
232.86 m
↓
S 40.331890°
W 17.828064°		 ← 232.83 m →
54 217 m²		 S 40.331890°
W 17.825317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450481414794922 y=0.622623443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450481414794922 × 217)
    floor (0.450481414794922 × 131072)
    floor (59045.5)     		tx = 59045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622623443603516 × 217)
    floor (0.622623443603516 × 131072)
    floor (81608.5)     		ty = 81608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59045 / 81608 ti = "17/59045/81608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59045/81608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59045 ÷ 217
    59045 ÷ 131072     		x = 0.450477600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81608 ÷ 217
    81608 ÷ 131072     		y = 0.62261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450477600097656 × 2 - 1) × π
    -0.0990447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31115842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770441850693543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31115842} λ = -0.31115842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770441850693543))-π/2
    2×atan(0.462808530856711)-π/2
    2×0.433454302213644-π/2
    0.866908604427288-1.57079632675     		φ = -0.70388772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31115842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.828064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70388772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.329796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59045 KachelY 81608 -0.31115842 -0.70388772 -17.828064 -40.329796
    Oben rechts KachelX + 1 59046 KachelY 81608 -0.31111048 -0.70388772 -17.825317 -40.329796
    Unten links KachelX 59045 KachelY + 1 81609 -0.31115842 -0.70392427 -17.828064 -40.331890
    Unten rechts KachelX + 1 59046 KachelY + 1 81609 -0.31111048 -0.70392427 -17.825317 -40.331890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70388772--0.70392427) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dl = 232.860050000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70388772--0.70392427) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dr = 232.860050000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31115842--0.31111048) × cos(-0.70388772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76233187556114 × 6371000     		do = 232.835777218696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31115842--0.31111048) × cos(-0.70392427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76230822039255 × 6371000     		du = 232.828552321325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70388772)-sin(-0.70392427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76233187556114-0.76230822039255)×R²
    abs(-0.31111048--0.31115842)×2.36551685900421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36551685900421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36551685900421e-05×40589641000000     		ar = 54217.3095360434m²