Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59044 / 27060
↖ ↑ ↗
← N 72.029900°
W 17.830810°		 ← 94.21 m → N 72.029900°
W 17.828064°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.029053°
W 17.830810°		 ← 94.21 m →
8 877 m²		 N 72.029053°
W 17.828064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450473785400391 y=0.206455230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450473785400391 × 217)
    floor (0.450473785400391 × 131072)
    floor (59044.5)     		tx = 59044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206455230712891 × 217)
    floor (0.206455230712891 × 131072)
    floor (27060.5)     		ty = 27060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59044 / 27060 ti = "17/59044/27060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59044/27060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59044 ÷ 217
    59044 ÷ 131072     		x = 0.450469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27060 ÷ 217
    27060 ÷ 131072     		y = 0.206451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206451416015625 × 2 - 1) × π
    0.58709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84442014978128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31120635} λ = -0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84442014978128))-π/2
    2×atan(6.32443150398565)-π/2
    2×1.41397762148181-π/2
    2.82795524296363-1.57079632675     		φ = 1.25715892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25715892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.029900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59044 KachelY 27060 -0.31120635 1.25715892 -17.830810 72.029900
    Oben rechts KachelX + 1 59045 KachelY 27060 -0.31115842 1.25715892 -17.828064 72.029900
    Unten links KachelX 59044 KachelY + 1 27061 -0.31120635 1.25714413 -17.830810 72.029053
    Unten rechts KachelX + 1 59045 KachelY + 1 27061 -0.31115842 1.25714413 -17.828064 72.029053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25715892-1.25714413) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25715892-1.25714413) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31120635--0.31115842) × cos(1.25715892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308520635331239 × 6371000     		do = 94.2104875016945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31120635--0.31115842) × cos(1.25714413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308534703806538 × 6371000     		du = 94.2147834798707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25715892)-sin(1.25714413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308520635331239-0.308534703806538)×R²
    abs(-0.31115842--0.31120635)×1.4068475298723e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4068475298723e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4068475298723e-05×40589641000000     		ar = 8877.38248372537m²