Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59043 / 45245
↖ ↑ ↗
← N 48.580241°
W 17.833557°		 ← 202.06 m → N 48.580241°
W 17.830810°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 48.578424°
W 17.833557°		 ← 202.07 m →
40 822 m²		 N 48.578424°
W 17.830810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450466156005859 y=0.345195770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450466156005859 × 217)
    floor (0.450466156005859 × 131072)
    floor (59043.5)     		tx = 59043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345195770263672 × 217)
    floor (0.345195770263672 × 131072)
    floor (45245.5)     		ty = 45245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59043 / 45245 ti = "17/59043/45245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59043/45245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59043 ÷ 217
    59043 ÷ 131072     		x = 0.450462341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45245 ÷ 217
    45245 ÷ 131072     		y = 0.345191955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450462341308594 × 2 - 1) × π
    -0.0990753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31125429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345191955566406 × 2 - 1) × π
    0.309616088867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.972687630190559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31125429} λ = -0.31125429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972687630190559))-π/2
    2×atan(2.64504381447127)-π/2
    2×1.20934074511668-π/2
    2.41868149023337-1.57079632675     		φ = 0.84788516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31125429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.833557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84788516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.580241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59043 KachelY 45245 -0.31125429 0.84788516 -17.833557 48.580241
    Oben rechts KachelX + 1 59044 KachelY 45245 -0.31120635 0.84788516 -17.830810 48.580241
    Unten links KachelX 59043 KachelY + 1 45246 -0.31125429 0.84785345 -17.833557 48.578424
    Unten rechts KachelX + 1 59044 KachelY + 1 45246 -0.31120635 0.84785345 -17.830810 48.578424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84788516-0.84785345) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84788516-0.84785345) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31125429--0.31120635) × cos(0.84788516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661570506649956 × 6371000     		do = 202.060661555605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31125429--0.31120635) × cos(0.84785345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661594285106235 × 6371000     		du = 202.06792410821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84788516)-sin(0.84785345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661570506649956-0.661594285106235)×R²
    abs(-0.31120635--0.31125429)×2.37784562783228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37784562783228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37784562783228e-05×40589641000000     		ar = 40821.9195448912m²