Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59042 / 45998
↖ ↑ ↗
← N 47.193446°
W 17.836304°		 ← 207.54 m → N 47.193446°
W 17.833557°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 47.191579°
W 17.836304°		 ← 207.55 m →
43 080 m²		 N 47.191579°
W 17.833557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450458526611328 y=0.350940704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450458526611328 × 217)
    floor (0.450458526611328 × 131072)
    floor (59042.5)     		tx = 59042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350940704345703 × 217)
    floor (0.350940704345703 × 131072)
    floor (45998.5)     		ty = 45998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59042 / 45998 ti = "17/59042/45998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59042/45998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59042 ÷ 217
    59042 ÷ 131072     		x = 0.450454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45998 ÷ 217
    45998 ÷ 131072     		y = 0.350936889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450454711914062 × 2 - 1) × π
    -0.099090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31130223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350936889648438 × 2 - 1) × π
    0.298126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936591144776657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31130223} λ = -0.31130223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936591144776657))-π/2
    2×atan(2.55126966928145)-π/2
    2×1.19723866665446-π/2
    2.39447733330891-1.57079632675     		φ = 0.82368101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31130223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.836304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82368101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.193446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59042 KachelY 45998 -0.31130223 0.82368101 -17.836304 47.193446
    Oben rechts KachelX + 1 59043 KachelY 45998 -0.31125429 0.82368101 -17.833557 47.193446
    Unten links KachelX 59042 KachelY + 1 45999 -0.31130223 0.82364843 -17.836304 47.191579
    Unten rechts KachelX + 1 59043 KachelY + 1 45999 -0.31125429 0.82364843 -17.833557 47.191579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82368101-0.82364843) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82368101-0.82364843) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31130223--0.31125429) × cos(0.82368101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679525236267782 × 6371000     		do = 207.544498135866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31130223--0.31125429) × cos(0.82364843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67954913829365 × 6371000     		du = 207.551798429805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82368101)-sin(0.82364843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679525236267782-0.67954913829365)×R²
    abs(-0.31125429--0.31130223)×2.39020258683276e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39020258683276e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39020258683276e-05×40589641000000     		ar = 43080.1838571427m²