Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59042 / 45477
↖ ↑ ↗
← N 48.156925°
W 17.836304°		 ← 203.75 m → N 48.156925°
W 17.833557°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
N 48.155093°
W 17.836304°		 ← 203.75 m →
41 513 m²		 N 48.155093°
W 17.833557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450458526611328 y=0.346965789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450458526611328 × 217)
    floor (0.450458526611328 × 131072)
    floor (59042.5)     		tx = 59042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346965789794922 × 217)
    floor (0.346965789794922 × 131072)
    floor (45477.5)     		ty = 45477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59042 / 45477 ti = "17/59042/45477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59042/45477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59042 ÷ 217
    59042 ÷ 131072     		x = 0.450454711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45477 ÷ 217
    45477 ÷ 131072     		y = 0.346961975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450454711914062 × 2 - 1) × π
    -0.099090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31130223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346961975097656 × 2 - 1) × π
    0.306076049804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.961566269478706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31130223} λ = -0.31130223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961566269478706))-π/2
    2×atan(2.61579029907726)-π/2
    2×1.20564661381197-π/2
    2.41129322762395-1.57079632675     		φ = 0.84049690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31130223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.836304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84049690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.156925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59042 KachelY 45477 -0.31130223 0.84049690 -17.836304 48.156925
    Oben rechts KachelX + 1 59043 KachelY 45477 -0.31125429 0.84049690 -17.833557 48.156925
    Unten links KachelX 59042 KachelY + 1 45478 -0.31130223 0.84046492 -17.836304 48.155093
    Unten rechts KachelX + 1 59043 KachelY + 1 45478 -0.31125429 0.84046492 -17.833557 48.155093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84049690-0.84046492) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84049690-0.84046492) × R
    3.19800000000425e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31130223--0.31125429) × cos(0.84049690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66709273028873 × 6371000     		do = 203.747290797158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31130223--0.31125429) × cos(0.84046492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		du = 203.754567244554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84049690)-sin(0.84046492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66709273028873-0.667116554238197)×R²
    abs(-0.31125429--0.31130223)×2.38239494672055e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38239494672055e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38239494672055e-05×40589641000000     		ar = 41513.1474615463m²