Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59041 / 46007
↖ ↑ ↗
← N 47.176645°
W 17.839050°		 ← 207.57 m → N 47.176645°
W 17.836304°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 47.174779°
W 17.839050°		 ← 207.57 m →
43 085 m²		 N 47.174779°
W 17.836304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450450897216797 y=0.351009368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450450897216797 × 217)
    floor (0.450450897216797 × 131072)
    floor (59041.5)     		tx = 59041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351009368896484 × 217)
    floor (0.351009368896484 × 131072)
    floor (46007.5)     		ty = 46007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59041 / 46007 ti = "17/59041/46007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59041/46007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59041 ÷ 217
    59041 ÷ 131072     		x = 0.450447082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46007 ÷ 217
    46007 ÷ 131072     		y = 0.351005554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450447082519531 × 2 - 1) × π
    -0.0991058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31135016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351005554199219 × 2 - 1) × π
    0.297988891601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.936159712680077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31135016} λ = -0.31135016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936159712680077))-π/2
    2×atan(2.55016920706352)-π/2
    2×1.19709205895633-π/2
    2.39418411791267-1.57079632675     		φ = 0.82338779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31135016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.839050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82338779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.176645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59041 KachelY 46007 -0.31135016 0.82338779 -17.839050 47.176645
    Oben rechts KachelX + 1 59042 KachelY 46007 -0.31130223 0.82338779 -17.836304 47.176645
    Unten links KachelX 59041 KachelY + 1 46008 -0.31135016 0.82335521 -17.839050 47.174779
    Unten rechts KachelX + 1 59042 KachelY + 1 46008 -0.31130223 0.82335521 -17.836304 47.174779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82338779-0.82335521) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dl = 207.567179999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82338779-0.82335521) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dr = 207.567179999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31135016--0.31130223) × cos(0.82338779) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679740328531242 × 6371000     		do = 207.566886593054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31135016--0.31130223) × cos(0.82335521) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679764224064391 × 6371000     		du = 207.574183381564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82338779)-sin(0.82335521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679740328531242-0.679764224064391)×R²
    abs(-0.31130223--0.31135016)×2.38955331489654e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38955331489654e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38955331489654e-05×40589641000000     		ar = 43084.8306022388m²