Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59034 / 81625
↖ ↑ ↗
← S 40.365381°
W 17.858276°		 ← 232.71 m → S 40.365381°
W 17.855530°		 →
↑
232.73 m
↓
↑
232.73 m
↓
S 40.367474°
W 17.858276°		 ← 232.71 m →
54 159 m²		 S 40.367474°
W 17.855530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450397491455078 y=0.622753143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450397491455078 × 217)
    floor (0.450397491455078 × 131072)
    floor (59034.5)     		tx = 59034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622753143310547 × 217)
    floor (0.622753143310547 × 131072)
    floor (81625.5)     		ty = 81625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59034 / 81625 ti = "17/59034/81625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59034/81625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59034 ÷ 217
    59034 ÷ 131072     		x = 0.450393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81625 ÷ 217
    81625 ÷ 131072     		y = 0.622749328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450393676757812 × 2 - 1) × π
    -0.099212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31168572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622749328613281 × 2 - 1) × π
    -0.245498657226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.771256777987083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31168572} λ = -0.31168572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771256777987083))-π/2
    2×atan(0.462431529188571)-π/2
    2×0.433143761606451-π/2
    0.866287523212902-1.57079632675     		φ = -0.70450880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31168572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.858276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70450880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.365381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59034 KachelY 81625 -0.31168572 -0.70450880 -17.858276 -40.365381
    Oben rechts KachelX + 1 59035 KachelY 81625 -0.31163778 -0.70450880 -17.855530 -40.365381
    Unten links KachelX 59034 KachelY + 1 81626 -0.31168572 -0.70454533 -17.858276 -40.367474
    Unten rechts KachelX + 1 59035 KachelY + 1 81626 -0.31163778 -0.70454533 -17.855530 -40.367474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70450880--0.70454533) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dl = 232.732629999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70450880--0.70454533) × R
    3.65299999999236e-05 × 6371000     		dr = 232.732629999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31168572--0.31163778) × cos(-0.70450880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761929774086488 × 6371000     		do = 232.712965078515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31168572--0.31163778) × cos(-0.70454533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761906114571185 × 6371000     		du = 232.705738853546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70450880)-sin(-0.70454533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761929774086488-0.761906114571185)×R²
    abs(-0.31163778--0.31168572)×2.36595153031427e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36595153031427e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36595153031427e-05×40589641000000     		ar = 54159.0595146243m²