Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59031 / 46000
↖ ↑ ↗
← N 47.189713°
W 17.866516°		 ← 207.52 m → N 47.189713°
W 17.863770°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 47.187846°
W 17.866516°		 ← 207.52 m →
43 074 m²		 N 47.187846°
W 17.863770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450374603271484 y=0.350955963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450374603271484 × 217)
    floor (0.450374603271484 × 131072)
    floor (59031.5)     		tx = 59031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350955963134766 × 217)
    floor (0.350955963134766 × 131072)
    floor (46000.5)     		ty = 46000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59031 / 46000 ti = "17/59031/46000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59031/46000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59031 ÷ 217
    59031 ÷ 131072     		x = 0.450370788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46000 ÷ 217
    46000 ÷ 131072     		y = 0.3509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450370788574219 × 2 - 1) × π
    -0.0992584228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31182953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3509521484375 × 2 - 1) × π
    0.298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936495270977417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31182953} λ = -0.31182953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936495270977417))-π/2
    2×atan(2.55102508109036)-π/2
    2×1.19720609117568-π/2
    2.39441218235136-1.57079632675     		φ = 0.82361586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31182953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.866516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82361586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.189713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59031 KachelY 46000 -0.31182953 0.82361586 -17.866516 47.189713
    Oben rechts KachelX + 1 59032 KachelY 46000 -0.31178160 0.82361586 -17.863770 47.189713
    Unten links KachelX 59031 KachelY + 1 46001 -0.31182953 0.82358328 -17.866516 47.187846
    Unten rechts KachelX + 1 59032 KachelY + 1 46001 -0.31178160 0.82358328 -17.863770 47.187846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82361586-0.82358328) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dl = 207.567179999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82361586-0.82358328) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dr = 207.567179999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31182953--0.31178160) × cos(0.82361586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679573032262128 × 6371000     		do = 207.515800664946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31182953--0.31178160) × cos(0.82358328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679596932845569 × 6371000     		du = 207.523098995624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82361586)-sin(0.82358328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679573032262128-0.679596932845569)×R²
    abs(-0.31178160--0.31182953)×2.39005834408168e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39005834408168e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39005834408168e-05×40589641000000     		ar = 43074.2270001781m²