Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59029 / 81621
↖ ↑ ↗
← S 40.357010°
W 17.872010°		 ← 232.74 m → S 40.357010°
W 17.869263°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.359102°
W 17.872010°		 ← 232.73 m →
54 151 m²		 S 40.359102°
W 17.869263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450359344482422 y=0.622722625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450359344482422 × 217)
    floor (0.450359344482422 × 131072)
    floor (59029.5)     		tx = 59029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622722625732422 × 217)
    floor (0.622722625732422 × 131072)
    floor (81621.5)     		ty = 81621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59029 / 81621 ti = "17/59029/81621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59029/81621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59029 ÷ 217
    59029 ÷ 131072     		x = 0.450355529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81621 ÷ 217
    81621 ÷ 131072     		y = 0.622718811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450355529785156 × 2 - 1) × π
    -0.0992889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31192541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622718811035156 × 2 - 1) × π
    -0.245437622070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.771065030388603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31192541} λ = -0.31192541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771065030388603))-π/2
    2×atan(0.462520207825441)-π/2
    2×0.433216815244233-π/2
    0.866433630488467-1.57079632675     		φ = -0.70436270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31192541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.872010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70436270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.357010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59029 KachelY 81621 -0.31192541 -0.70436270 -17.872010 -40.357010
    Oben rechts KachelX + 1 59030 KachelY 81621 -0.31187747 -0.70436270 -17.869263 -40.357010
    Unten links KachelX 59029 KachelY + 1 81622 -0.31192541 -0.70439922 -17.872010 -40.359102
    Unten rechts KachelX + 1 59030 KachelY + 1 81622 -0.31187747 -0.70439922 -17.869263 -40.359102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70436270--0.70439922) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70436270--0.70439922) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31192541--0.31187747) × cos(-0.70436270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762024389028917 × 6371000     		do = 232.741862917322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31192541--0.31187747) × cos(-0.70439922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.762000740056009 × 6371000     		du = 232.734639912271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70436270)-sin(-0.70439922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762024389028917-0.762000740056009)×R²
    abs(-0.31187747--0.31192541)×2.36489729079636e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36489729079636e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36489729079636e-05×40589641000000     		ar = 54150.9576052022m²