Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59028 / 81618
↖ ↑ ↗
← S 40.350730°
W 17.874756°		 ← 232.71 m → S 40.350730°
W 17.872010°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 40.352824°
W 17.874756°		 ← 232.71 m →
54 174 m²		 S 40.352824°
W 17.872010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450351715087891 y=0.622699737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450351715087891 × 217)
    floor (0.450351715087891 × 131072)
    floor (59028.5)     		tx = 59028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622699737548828 × 217)
    floor (0.622699737548828 × 131072)
    floor (81618.5)     		ty = 81618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59028 / 81618 ti = "17/59028/81618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59028/81618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59028 ÷ 217
    59028 ÷ 131072     		x = 0.450347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81618 ÷ 217
    81618 ÷ 131072     		y = 0.622695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.09930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31197334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.245391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770921219689743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31197334} λ = -0.31197334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770921219689743))-π/2
    2×atan(0.462586727962804)-π/2
    2×0.433271611425654-π/2
    0.866543222851307-1.57079632675     		φ = -0.70425310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31197334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.874756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70425310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.350730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59028 KachelY 81618 -0.31197334 -0.70425310 -17.874756 -40.350730
    Oben rechts KachelX + 1 59029 KachelY 81618 -0.31192541 -0.70425310 -17.872010 -40.350730
    Unten links KachelX 59028 KachelY + 1 81619 -0.31197334 -0.70428964 -17.874756 -40.352824
    Unten rechts KachelX + 1 59029 KachelY + 1 81619 -0.31192541 -0.70428964 -17.872010 -40.352824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70425310--0.70428964) × R
    3.65400000000848e-05 × 6371000     		dl = 232.796340000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70425310--0.70428964) × R
    3.65400000000848e-05 × 6371000     		dr = 232.796340000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31197334--0.31192541) × cos(-0.70425310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762095355748188 × 6371000     		do = 232.714984884712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31197334--0.31192541) × cos(-0.70428964) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762071696875595 × 6371000     		du = 232.707760363349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70425310)-sin(-0.70428964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762095355748188-0.762071696875595)×R²
    abs(-0.31192541--0.31197334)×2.36588725933684e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36588725933684e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36588725933684e-05×40589641000000     		ar = 54174.3558293371m²